第十七章 勾股定理考点复习-2023-2024学年八年级数学下册重难点培优及章末梳理与检测（人教版）

第十七章 勾股定理考点复习举一反三 目录 知识点1 勾股定理的证明及文化背景 知识点2 利用勾股定理求线段长 知识点3 利用勾股定理求图形的面积 知识点4 勾股定理的实际应用 知识点5 勾股定理与数轴、坐标系 知识点6 勾股定理与网格 知识点7 利用勾股定理解决折叠问题 知识点8 利用勾股定理解决最短路径问题 知识点9 勾股定理的逆定理及勾股数 知识点10 互逆命题和互逆定理 知识点11 勾股定理及其逆定理综合应用 知识点1 勾股定理的证明及文化背景 典例1. 课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号）    练习1 清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点J，与交于点E，与交于点J，与交于点E．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 ． 练习2 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：． 证明：， 又S四边形， ． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 练习3 【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1 所示的方式摆放，连接的三边长分别为， 四边形的面积可以表示为 或 从而推导出．          【探究】淇淇将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止，如图2所示，与交于点，下面是淇淇利用图2证明勾股定理的过程，请将淇淇的探究过程补充完整． 证明：连接． ． = + ． 由，可整理得到 ； 【应用】在图2的基础上，若四边形的面积为200，的长为 12，求的长． 知识点2 利用勾股定理求线段长 典例2. （2024·陕西西安·一模）如图，在中，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 练习4 如图，在中，P为边上一点，已知的周长为30，，则斜边的长为（    ） A． B．12 C．13 D． 练习5 （22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是三角形角平分线，其，，，则点D到边的距离为（    ） A． B． C． D． 练习6 （22-23八年级下·湖北十堰·阶段练习）中，，边上的高为3，则 ． 知识点3 利用勾股定理求图形的面积 典例3. 如图，在边长为6的正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别记为，，则的值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．17 练习7 在中，，，，则的面积是 ． 练习8 （23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为 ． 练习9 （22-23八年级下·山东淄博·期中）如图，在中，，，，分别以的三边为边，向部作正方形，，，直线与相交于点J，过G作的平行线与线相交于点M，过F作的平行线与直线相交于点K，直线与相交于L，则四边形的面积是 ．    知识点4 勾股定理的实际应用 典例4. 世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置尺远，由此可知湖水的深度是（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 练习10 《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则 尺． 练习11 （23-24八年级下·江西上饶·阶段练习）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度为3米，为1米．（精确到0.1米，参考数据：）    (1)求滑道的长度； (2)若把滑梯改成滑梯，使，则求出的长． 练习12 如图有两棵树，一棵高，一棵高，两树之间相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ 知识点5 勾股定理与数轴、坐标系 典例5. （23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，矩形中，在数轴上，若以点为圆心，对角