第五章 梁的内力分析（课件）- 《土木工程力学基础》同步教学（机械工业版）

第五章 梁的内力分析 第一节 平面弯曲的概念 第二节 单跨静定梁的内力及内力图 第三节 用简捷法作梁的内力图 第四节 用叠加法绘梁的弯矩图 第五节 作多跨静定梁的内力图 第一节 平面弯曲的概念 当杆件受到横向力（垂直于杆轴线的力）或在杆轴平面内的力偶作用时，杆件的轴线由直线变成曲线。这种变形称为弯曲。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。 弯曲是工程和生活实际中最常见的一种基本变形。例如楼面梁，如图5-1a所示； 桥式吊车的横梁，见图5-1b； 机车的轮轴，见图5-1c，都是产生弯曲变形的构件。 图5-1 实际工程中，大多数的梁的横截面都有一根对称轴。梁的轴线与横截面对称轴所构成的平面，称为梁的纵向对称面。 图5-2中横向力和力偶作用于纵向对称面内时，梁的轴线弯曲成一条在此纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。本章只讨论这种平面弯曲。 梁的形式很多，按支座情况可分为如下三种基本形式的静定梁： 1、简支梁：梁一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座，如图5-3a所示。 2、悬臂梁：梁的一端为固定端，另一端自由，如图5-3b所示。 3、外伸梁：梁的支座形式与简支梁的相同，但梁的一端或两端伸出支座之外，如图5-3c所示。 图5-2 图5-3 第二节 单跨静定梁的内力及内力图 一、梁的内力--剪力和弯矩 图5-4a为一简支梁，现在分析任意一个截面m-m上的内力。首先从m-m处将梁假想地切开，取左段（也可取右段）为研究对象。左段的外力有和。截面m-m上的内力应与与一起使左段平衡。 由平衡条件，横截面上必然有一个与截面平行的内力FQ，这个力称为剪力。另外，和对截面形心之矩一般不会相互平衡，所以，在横截面上有一个作用面在纵向对称面内的力偶M与之平衡，这个内力偶M称为弯矩。 因此，一般情况下弯曲梁横截面上有两种内力：剪力FQ和弯矩M，见图5-4b。 图5-4 一、梁的内力--剪力和弯矩 在计算过程中，为保证无论取截面的左段还是右段为研究对象，所得到的同一横截面上的剪力和弯矩相同，特对剪力FQ和弯矩M的符号作如下规定： 剪力：剪力使脱离体顺时针方向转动为正，反之为负，见图5-5a。 弯矩：弯矩使脱离体产生向下凹变形的弯矩为正，反之为负，见图5-5b。 计算梁指定截面上的剪力和弯矩最基本的方法仍然是截面法。其步骤如下： 计算支座反力；（对悬臂梁可以不用求反力） 用截面法将梁从需求内力处假想地切为两段； 任取一段为研究对象，画出受力图（一般将所求截面上的剪力和弯矩都假定为正）。 建立平衡方程，求出剪力和弯矩。 图5-5 例5－1求图5-6a所示梁1－1、2－2、3－3截面上的剪力和弯矩。已知m＝12kN.m，q＝2kN/m。 （2）求1-1截面的内力。用截面法把梁从1-1截面处切成两段，取左段为研究对象，受力如图5-6b。图中剪力和弯矩都假设为正。由平衡方程得 图5-6 例5－1 在计算梁的剪力和弯矩时，可以通过下面的结论直接计算： （1）某截面上的剪力等于该截面左侧（或右侧）梁段上所有横向外力的代数和。（左上右下剪力为正；反之则为负） 以该截面左侧杆段上的外力进行计算时，则向上的外力产生正剪力，反之为负。以该截面右侧杆段的外力计算时，则向下的外力产生正剪力，反之为负。 (2)某截面上的弯矩等于该截面左侧（或右侧）所有外力对该截面之矩的代数和。（左顺右逆弯矩为正；反之则为负） 以左侧的外力进行计算时，则绕截面顺转的外力产生正弯矩，反之为负。以右侧的外力计算时，绕截面逆转的外力产生正弯矩，反之为负。 例5-2简支梁受集中力F＝3kN，集中力偶m＝2kN.m作用，见图5-7，试求1－1、2－2、3－3和4－4截面上的剪力和弯矩。 本例中，1-1和2-2截面分别为集中力F作用点的两侧截面。 从计算出的剪力和弯矩的数值可知，集中力F两侧的剪力值有一个突变，且突变值等于集中力F的值。而集中力作用处两侧的弯矩值相等。 3-3和4-4截面分别为集中力偶m作用处两侧的截面，从计算结果知：集中力偶作用处两侧的剪力没有变化，而弯矩有突变，其突变值等于集中力偶m的数值。 以上的结论，对于梁截面上剪力和弯矩的计算具有普遍性。 解：（1）求支座反力 ∑MB＝0,　F×6-FA×8-m=0, FA=2kN 由∑Fy＝0,　,FA-F+FB=0 ,RB＝1kN (2)计算各截面的剪力和弯矩。对1－1截面和2－2截面，取左侧计算 FQ2=FA－F＝2－3＝－1kN (3)求3－3和4－4截面的剪力和弯矩，取右侧计算。 图5-7 二、剪力图和弯矩图 （一）、剪力方程和弯矩方程 上节的计算表明，一般情况下，梁上各截面的剪力和弯矩值是随截面位置不同而变化的。如果把梁的截面位置用坐标x表示，则剪力和弯矩是x的函数，即 FQ＝FQ（x） M＝M（x） 上式称为剪力方程和弯矩方程。