28.1 锐角三角函数课件2023-2024学年人教版九年级下册数学

今日复今日，今日何其少！今日又不为，此事何时了！人生百年几今日，今日不为真可惜！若言姑待明朝至，明朝又有明朝事。为君聊赋今日诗，努力请从今日始。——文嘉《今日诗》 28.1 锐角三角函数 第二十八章 锐角三角函数 28.1.1 正弦函数 学习目标 1.理解并掌握锐角正弦的定义． 2.在直角三角形中求锐角的正弦值．(重点) 知识回顾 A C B 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°. 问题1：三条边之间有什么关系？ 问题2：两锐角之间有什么关系？ ∠A+∠B=90° 思考：边角之间有什么关系？ 可以从特殊直角三角形入手探究 问题探究 问题1：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°， 如果∠A＝30°，你能说出边之间的关系吗？ A C B 在直角三角形中，30度角所对 直角边等于斜边的一半. 即： 写成比例式为： 结论： ②比值只与∠A的大小有关. 得出结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与 斜边的比都等于 . 问题2：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比 ， 由此你能得出什么结论？ 问题探究 ∵∠A=45°； ∴△ABC是等腰Rt△； ∴AC=BC； ∴AB2=AC2+BC2 =2BC2 即： 写成比例式为： ②比值只与∠A的大小有关. 结论： 得出结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与 斜边的比都等于 . 问题3：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=60°，计算∠A的对边与斜边的比 ， 由此你能得出什么结论？ 问题探究 ∵∠A=60°； ∴∠B=30°； 设AC=a； 则AB=2a. 由勾股定理得： ②比值只与∠A的大小有关. 结论： 得出结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于60°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与 斜边的比都等于 . 总结归纳 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 45°，60°时，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都是固定值. 想一想：当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？ 如图所示，任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 还是一个固定值吗？为什么？ A B C A' B' C' 问题探究 得出结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是 一个固定值． 问题探究 观察下列结论，你发现了什么？ 我们发现： 当∠A的度数发生变化时，∠A的对边与斜边的比随∠A的变化而变化. ∠A的度数 ∠A的对边与斜边的比值 自变量 函数 它们反应的是直角三角形的边角之间的关系. 总结归纳 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine）， 记作：sinA， 当∠A＝30°时， 当∠A＝45°时， A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c 正弦函数的定义： 邻边 即： 当∠A＝60°时， 即：sinA随∠A的增大而增大. 三角函数中应注意的问题： 1.sinA,cosA,tanA均是一个完整的符号，不能写成sin·A,cos·A,tan·A; 总结归纳 2.sinA,cosA,tanA中，∠A的符号“∠”习惯上可以省略不写，但对于用三个大写字母或用阿拉伯数字表示的角，角的符号“∠”不能省略，如“sin∠ABC,sin∠1”中的“∠”的符号不能省略. 3.sin2A表示（sinA）2,cos2A表示（cosA）2,tan2A表示（tanA）2. 4.在Rt△中，若∠A=∠B，则sinA=sinB；若∠A≠∠B，则sinA≠sinB，反之也成立. 典例精析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA 和sinB的值. 解析：求sinA 和sinB的值，实质就是求∠A与∠B的对边与斜边的比. 提示：先利用勾股定理求未知的斜边与直角边的长. A B C 4 3 图① ？ A B C 13 5 图② ？ 练一练 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，求sin A和sin B的值. A C B 解：如图，过点P作x轴的垂线，垂足为A . 在Rt△APO中，由勾股定理得 平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 归纳 典例精析 例