2024年九年级中考数学复习专题：二次函数的应用中六大考点

二次函数的应用中六大考点 考点一 利用二次函数解决拱桥问题 例1．如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的解析式为． （1）一辆货运车车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？ （2）如果该隧道内设双行道，中间遇车间隙为0.4m，那么这辆卡车是否可以通过？ 【变式训练】 1．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为5.6米，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式． （2）如图，在对称轴右边1m处，桥洞离桥面的高是多少？ 2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m.按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝－x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为 m. (1)求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？ (3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 考点二 利用二次函数解决销售问题（每每问题） 例2．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价，单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出． （1）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？ （2）请你计算，这批旅游纪念品总获利的最大值与最小值相差多少． 【变式训练】 1．在“扶贫攻坚”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价4.5元/kg，原料单价的3元/kg，生产该产品每盒需要原料2kg和原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）设每盒产品的售价是元（是大于60的整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （2）在（1）的条件下，当产品利润为16000元时，求售价是多少元？ 2．某商场将进价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个． （1）请写出每月售出书包的利润y元与每个书包涨价x元间的函数关系式； （2）设每月10000元的利润是否为该月最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元． 3．某园林专业户王先生计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图2所示（图中实线部分） (1)分别求出与关于投资量的函数解析式； (2)王先生以总资金万元投入种植花卉和树木，且投入种植花卉的资金不能超过投入种植树木资金的倍．设王先生投入种植花卉资金万元，种植花卉和树木共获利万元，求关于的函数解析式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ (3)若王先生想获利不低于万，在（）的条件下，直接写出投资种植花卉的资金的范围． 4．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调查发现，这种商品在未来40天内的日销售量y1（件）与时间t（天）的关系如图所示；未来40天内，每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y2＝（t为整数）； （1）求日销售量y1（件）与时间t（天）的函数关系式； （2）请预测未来40天中哪一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）在实际销售的前20天中该公司决定销售一件商品就捐赠a元（a为定值）利润给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，第18天的时候，扣除捐赠后日销售利润为这20天中的最大值，求a的值． 考点三 利用二次函数解决投球问题 例3．九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？ （2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？ 【变式训练】 1．如图如示，王强在一次高尔夫球的练习中，在O点处击球，球的飞行路线满足抛物线，其中y（米）是球的飞行高度，x（米）是