19.2.3 一次函数与方程、不等式 课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

第十九章 一次函数 一次函数与方程、不等式 1 学 习 目 标 1 2 认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、 一元一次不等式之间的联系．（重点、难点） 会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集） 的意义. 问题①：解方程2x+20=0 问题②：当x为何值时 , 函数y=2x+20的值0 ? 问题③：画出函数y=2x+20 的图象 , 并确定 它与x轴的交点坐标 ; 问题④：问题① ②有何关系 ? ① ③呢 ? 问题①与问题②可以看作是同一个问题的两种形式 . 问题① ②是从数的角度看 , 问题③是从图形的角度看 . 0 x y 20 -10 y=2x+20 直线y=2x+20与x轴的交点坐标为(-10 , 0) . 知识归纳 由于任何一个一元一次方程都可化为ax+b=0（a , b为常数a≠0）的形式 , 所以解一元一次方程可以转化为：“求一次函数y= ax+b( a≠0）的值为0时相应的自变量的值.” 从图象上看 , 这又相当于“求直线y= ax+b 与x轴的交点的横坐标”. 例 : 一个物体现在的速度是5米/秒 , 其速度每秒增加2米/秒 , 再过几秒它的速度为17米/秒 ? 解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒 , 由题意得 , 2x+5=17 , 解得 x=6 . 答：再过6秒它的速度为17米/秒 . 解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数 : y=2x+5 . 由2x+5=17得 , 2x－12=0 , 由右图看出直线y=2x－12与x轴的交点为(6 , 0) , 得x=6 . 0 x y 6 －12 y=2x－12 例: 一个物体现在的速度是5米/秒 , 其速度每秒增加2米/秒 , 再过几秒它的速度为17米/秒 ? 例: 一个物体现在的速度是5米/秒 , 其速度每秒增加2米/秒 , 再过几秒它的速度为17米/秒 ? 解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数 : y=2x+5 . 由右图可以看出当y =17时 , x=6 . y=2x+5 x y 0 6 17 5 －2.5 知识归纳 求ax+b=0（a≠0）的解 x为何值时 , y=ax+b的值为0？ 确定直线y=ax+b与x轴交点的横坐标 从形的角度看： 从数的角度看 : 求ax+b=0（a≠0）的解 转化 转化 特别提醒： 求一次函数的图象与x轴交点的横坐标的实质就是解一元一次方程；也就是说，“数” 题可用“形”解，“形” 题也可用“数”解 . 对于一次函数y=kx+b (k，b为常数，k≠0)，已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 合 作 探 究 问题 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？ 一次函数与一元一次不等式 　 (1) 3x + 2＞2； (2) 3x + 2＜0； (3) 3x + 2＜-1． 从函数值的角度看： 解这 3 个不等式 ⟺ 在一次函数 y = 3x + 2的函数值分别大于2、小于0、小于-1时，求自变量 x 的取值范围. 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y = 3x + 2 y = 2 y = 0 y = -1 从函数图象的角度看：解这 3 个不等式 ⟺ 在直线 y = 3x + 2 上取纵坐标分别满足大于 2、小于 0、小于 -1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件. 求 kx+b＞0(或<0) (k ≠ 0)的解集 y = kx + b 的值 大于(或小于) 0 时，x 的取值范围 从“函数值”看 求kx+b＞0(或＜0) (k ≠ 0)的解集 确定直线y = kx + b 在 x 轴上方(或下 方)的图象所对应的 x 取值范围 从“函数图象”看 一次函数与一元一次不等式的关系 归纳总结 可以看出 , 当x<2时这条直线上的点在x轴的下方 , 解 : (方法一）化简得3x-6<0 , 画出直线y=3x-6 , 即这时y=3x-6<0 , 所以不等式的解集为x<2 . 例：用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10 . y x -6 2 0 y=3x-6 (方法二) : 将原不等式的两边分别看成两个一次函数 ，画出直线y1=5x+4与直线y2=2x+10的图像 ， 可以看出 ，它们交点的横坐标为2 ， 当x＜2时 ，对于同一个x ， 直线y1=5x+4上的点在直线y2=2x+10上相应点的下方 ， 这时5x+4 ＜ 2x+10 ， 所以不