第十五章 概率（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第二册）

第十五章　概率（知识归纳+题型突破） 1.理解随机事件、必然事件和不可能事件的概念，并会判断． 2.能够写出事件的样本点，并掌握和(并)事件、积(交)事件． 1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别． 2.理解古典概型的定义． 3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题． 1.理解互斥事件的概念，能综合运用互斥事件的概率加法公式求某些事件的概率． 2.理解对立事件的概念，能利用对立事件解决问题． 3.能记住相互独立事件概率的乘法公式；能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题． 1．事件的概念及分类 (1)确定性现象和随机现象 在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象．在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象． 注意点：对于某种现象，不是确定性现象就是随机现象． (2)样本空间 我们把随机试验的每一个可能结果称为样本点，用ω表示，所有样本点组成的集合称为样本空间，用Ω表示．样本空间的子集称为随机事件，简称事件．事件一般用A，B，C等大写英文字母表示．当一个事件仅包含单一样本点时，称该事件为基本事件．显然，Ω(全集)是必然事件，∅ (空集)是不可能事件． 注意点：随机试验的特点 (1)可以在相同条件下重复进行． (2)试验的所有结果是明确可知的，但不止一个． (3)每次试验总是出现这些结果中的一个，但在一次试验之前不能确定该试验出现哪个结果． 2．和(并)事件、积(交)事件 (1)事件A与B至少有一个发生即为事件C发生，这时，我们称C是A与B的并，也称C是A与B的和，记作C＝A＋B或C＝A∪B． (2)事件A与B同时发生即为事件C发生，这时，我们称C是A与B的交，也称C是A与B的积，记作C＝AB或C＝A∩B． 注意点：在理解和事件、积事件时，可以结合集合的并集和交集加以理解 (1)如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B. (2)类似地，可以定义多个事件的和事件以及积事件．例如，对于三个事件A，B，C，A∪B∪C(或A＋B＋C)发生当且仅当A，B，C中至少一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A，B，C同时发生． 3．随机事件的概率 一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率P(A)的附近摆动并趋于稳定．我们将频率的这个性质称为频率的稳定性．因此，若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验次数n很大时，可以用事件A发生的频率来估计事件A的概率，即P(A)≈. 必然事件的概率：P(Ω)＝1，不可能事件的概率P(∅)＝0． 注意点：频率与概率的区别与联系 名称 区别 联系 频率 本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同 (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 (2)在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率 概率 是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变 4.古典概型 满足以下条件的随机试验的概率模型称为古典概型． (1)样本空间Ω只含有有限个样本点； (2)每个基本事件的发生都是等可能的． 注意点：古典概型的判断 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型． 下列三类试验都不是古典概型： (1)样本点个数有限，但非等可能． (2)样本点个数无限，但等可能． (3)样本点个数无限，也不等可能． 5．古典概型的概率公式 在古典概型中，如果样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}(其中，n为样本点的个数)，那么每一个基本事件{ωk}(k＝1，2，…，n)发生的概率都是.如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A中包含m个样本点，那么事件A发生的概率为P(A)＝． 6．互斥事件和对立事件 若AB＝∅，即事件A与B不可能同时发生，则称A，B为互斥事件； 若AC＝∅，并且A＋C＝Ω，即互斥事件A，C中必有一个发生，则称A，C为对立事件，记作C＝或A＝. 注意点： (1)互斥事件与对立事件的区别与联系 ①区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：(ⅰ)若事件A发生，则事件B就不发生；(ⅱ)若事件B发生，则事件A不发生；(ⅲ)事件A，B都不发生． 而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则A∪B不一定是必然事件，亦即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个． ②联系：互斥事件和对立事件