第十五章 概率（压轴题专练）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第二册）

第十五章　概率（压轴题专练） 题型一　古典概型的实际应用 【例1】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． 思维升华 如何建立概率模型(古典概型) (1)在建立概率模型(古典概型)时，把什么看作一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求每次试验有且只有一个基本事件出现．对于同一个随机试验，可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型． (2)注意验证是否满足古典概型的两个特性，即①基本事件的有限性；②每个基本事件的等可能性．　 　 巩固训练 目前，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况． (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ (2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访． 员工 项目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率． 题型二　随机事件与样本空间 【例2】一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1为“第一次摸到红球”，R2为“第二次摸到红球”，R为“两次都摸到红球”，G为“两次都摸到绿球”，M为“两个球颜色相同”，N为“两个球颜色不同”． (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； (2)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？ (3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？ 思维升华 在写试验的样本空间时主要利用枚举法，可以结合图表或树形图，而对于判断和事件、积事件、互斥对立事件时，主要利用它们的定义和各自的特点来判断．　 　 　 巩固训练 在抛掷骰子的试验中，记一颗骰子向上的点数为样本点，则样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，Ω的子集可以确定一系列随机事件． (1)此随机试验中的样本点有哪些？ (2)设事件D＝{出现的点数大于3}，如何用样本点表示事件D? (3)设事件D＝{出现的点数大于3}，事件E＝{出现的点数小于5}，如何用样本点表示事件D∩E? 题型三　互斥事件、对立事件的概率 【例3】某学校在教师外出家访了解家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示： 派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6 概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04 求：(1)有4人或5人外出家访的概率； (2)求至少有3人外出家访的概率． 思维升华 (1)互斥事件与对立事件的概率计算 ①若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则 P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). ②设事件A的对立事件是，则P()＝1－P(A). (2)求复杂事件的概率常用的两种方法 ①将所求事件转化成彼此互斥的事件的和． ②先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解．　 巩固训练 受轿车在保修期内的维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲品牌轿车保修期为3年，乙品牌轿车保修期为2年，现从该厂已售出的两种品牌的轿车中分别随机抽取50辆，统计出在保修期内首次出现故障的车辆数据如下： 品牌 甲 乙 首次出现故障的时间x(年) 0<x≤1 1<x≤2 2<x≤3 x>3 0<x≤1 1<x≤2 x>2 轿车数量(辆) 2 1 3 44 2 3