1.3.2等比数列的前n项和(第1课时)（教学设计）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

第一章 数列 3.2等比数列的前n项和(第1课时)教学设计 1、 课时教学内容 等比数列前n项和公式的推导及简单应用. 2、 课时教学目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用． 2.会用错位相减法求数列的和． 3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题. 3、 教学重点、难点 1．教学重点： 掌握等比数列的前n项和公式及其应用，等比数列前n项和公式推导方法； 等比数列前n项和公式的推导(错位相减法）及简单应用。 2．教学难点 ： 等比数列前n项和公式推导方法（错位相减法）的理解。 会用错位相减法求数列的和，能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题. 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 实例分析 一天,小林和小明做“贷款”游戏,签订了一份合同.从签订合同之日起,在整整一个月(30天)中,小明第一天贷给小林1万元,第二天贷给小林2万元,第三天贷给小林3万元…...以后每天比前一天多贷给小林1万元.而小林按这样的方式还贷:小林第一天只需还1分钱,第二天还2分钱,第三天还4分钱……后每天还的钱数是前一天的2倍. 合同开始生效了,第一天小林支出1分钱,收人1万元;第二天,他支出2分钱,收人2万元;第三天,他支出4分钱,收人3万元.......到了第10天,他共得到55万元,付出的总数只有10元2角3分.到了第20天,小林共得210万元,而小明才得到1048575分,共1万元多一点.小林想:要是合同订两个月、三个月那该多好! 果真是这样吗? 环节二观察分析，感知概念 下面我们来计算一下双方得到的钱数. 设30天后,小林得到的钱数为(单位:万元), 小明得到的钱数为单位:分), 则根据合同,有 （万元） ① 如何计算呢? 由①式,可得 ② ②-①,得 而可不是一个小数目!利用计算器计算,得 . 小林听到这个结果,肯定会吓出一身冷汗! 环节三抽象概括，形成概念 抽象概括 将上述方法推广到一般的等比数列求和问题的解决过程中. 对首项为,公比为的等比数列,设 探究1：这个和式右边任意相邻两项有何特点？ 引导、启发学生观察，寻求等式规律，每一项都乘以，就变成了它的后一项. ① ①两边同时乘q,得 探究2：若在此等式两边同以，得到②式，比较①,②两式，你有什么发现？ 引导学生经过比较后发现：①,②两式有若干相同项，可两式相减求. ② 1- ②，得 即 引导学生对q进行分类讨论。 追问2 由得到正确吗？ 当时,等比数列的前项和公式为 追问3若q=1，是什么数列，前项和等于什么？ 很明显,当时,由①式可得. 从而,等比数列的前项和公式为 公式分析 (1)知三求二：n q a1 an Sn (2)n的含义：项数 (3)注意对q分类讨论 (4)错位相减法：乘公比（作用是构造相同项）后错开一项再相减。 环节四辨析理解，深化概念 思考交流 等比数列前项和的有关公式中涉及哪几个相关量?这几个量有什么实际意义?这几个相关量中,已知其中几个相关量可以求出其他几个? 例5(1)已知等比数列中,.求; (2)求等比数列的前10项的和. 解：(1)由等比数列的前项和公式,得 （2）因为公比,所以 【设计意图】已知前n项和会合理选择公式逆向求解数列基本量，进一步理解公式特点，深化对公式的理解和应用。 环节五概念应用，巩固内化 例6五洲电扇厂去年实现利润300万元,计划在以后5年中每年比上一年利润增长.问从今年起第5年的利润是多少?这5年的总利润是多少?（结果精确到1万元） 解：根据题意,可知每年的利润组成一个首项、公比的等比数列.所以从今年起第5年的利润为 （万元） 这5年的总利润为 （万元） 环节六 归纳总结,反思提升 问题：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 1．知识清单： (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”． (2)利用错位相减法求数列的前n项和．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法． (3)等比数列前n项和的性质． 2．方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论． 3．常见误区： (1)前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况． (2)错位相减法中粗心出错． (3)忽略对参数的讨论． 环节七 目标检测，作业布置 完成教材：第28页 练习 第1，2题 练习(第28页） 1.求下列等比数列的前项和: (1); (2); (3); (4). 2.某超市去年的销售额为万元,计划在