2024年九年级中考数学复习讲义 专题二 新概念新运算类型

专题二：阅读理解题 类型一　新概念型 典例1　(2022·常德)我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称(a，b)为一组完美方根数对．如(3，6)是一组完美方根数对．则下列4个结论：①(4，12)是完美方根数对　②(9，91)是完美方根数对 ③若(a，380)是完美方根数对，则a＝20　④若(x，y)是完美方根数对，则点P(x，y)在抛物线y＝x2－x上．其中正确的结论有(　C　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 思路导析　通过完美方根数对的概念，判断(4，12)，(9，91)是否为完美方根数对；根据完美方根数对的概念，求出(a，380)中的a；根据完美方根数对的概念，由(x，y)得到＝x，整理可得出结论． 名师点拨 本题属于新定义类问题，主要考查算术平方根的性质与定义，理解完美方根数对的定义是解题的关键． 1．(2023·巴中模拟)若an＝b(a＞0且a≠1，b＞0)，则n叫做以a为底b的对数，记为logab(即logab＝n)．如25＝32，则5叫做以2为底32的对数，记为log232(即log232＝5)．根据以上运算规则，log381＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 2．(2022·南宫市模拟)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，则它的特征值k等于(　　) A. B. C.或 D.或 3．定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”． 第3题图 特例感知： (1)如图1，四边形ABCD是“垂美四边形，如果OA＝OD＝OB，OB＝2，∠OBC＝60°，则AD2＋BC2＝________，AB2＋CD2＝________； 猜想论证： (2)如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明； 拓展应用： (3)如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，∠BAC＝60°，求GE长； (4)如图3，∠AOB＝∠COD＝90°，∠ABO＝∠CDO＝30°，∠BOC＝120°，OA＝OD，OC＝，连接AC，BC，BD，请直接写出BC的长． 类型二　新运算型 典例2　(2023·广安)定义一种新运算：对于两个非零实数a，b，a※b＝＋.若2※(－2)＝1，则(－3)※3的值是－． 思路导析　原式利用题中的新定义计算即可求出值． 1．(2020·潍坊)若定义一种新运算：a⊗b＝例如：3⊗1＝3－1＝2；5⊗4＝5＋4－6＝3.则函数y＝(x＋2)⊗(x－1)的图象大致是(　　) 2．(2023·怀化)定义新运算：(a，b)·(c，d)＝ac＋bd，其中a，b，c，d为实数．例如：(1，2)·(3，4)＝1×3＋2×4＝11.如果(2x，3)·(3，－1)＝3，那么x＝ ． 类型三　新应用型 典例3　(2023·随州)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点) 当△ABC的三个内角均小于120°时， 如图1，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′，由PC＝P′C，∠PCP′＝60°，可知△PCP′为①________三角形，故PP′＝PC，又P′A′＝PA，故PA＋PB＋PC＝P′A′＋PB＋PP′≥A′B，由②______________可知，当B，P，P′，A′在同一条直线上时，PA＋PB＋PC取最小值，如图2，最小值为A′B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC＝∠BPC＝∠APB＝③__________；已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为④________点； 典例3图 (2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC＝3，BC＝4，∠ACB＝ 30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA＋PB＋PC的值； 典例3图 (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC＝4 km，BC＝ 2 km，∠ACB＝60°.现欲建一中转站