2024年九年级中考数学复习讲义 专题一 规律探索与表达式

专题一：规律探索与表达式 类型一　数式间的规律 1．解题攻略： (1)标序号(1，2，3，…，n)：先把各数按顺序或位置进行编号． (2)找规律：从数的符号(正号或负号)和绝对值两个方面进行分析，先观察分析几个式子，从中找出变化的量及符号、不变的量及符号． (3)写规律：将式子中变化的量及符号用字母表示出来，从而得到本组式子的模型． 2．常见的数字规律： ①自然数列规律：0，1，2，3，…，n(n≥0)； ②正整数列规律：1，2，3，…，n(n≥1)； ③奇数列规律：1，3，5，7，…，2n－1(n≥1)； ④偶数列规律：2，4，6，8，…，2n(n≥1)； ⑤正整数的和：1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝；正奇数的和：1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2(n≥1)；正偶数的和：2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)(n≥1)． ⑥正整数的平方：1，4，9，16，…，n2(n≥1)； ⑦正整数平方加1：2，5，10，17，…，n2＋1(n≥1)； ⑧正整数平方减1：0，3，8，15，…，n2－1(n≥1)； ⑨符号规律：若所给数字的正负号交替出现，则用(－1)n或(－1)n＋1表示符号； ⑩若所给的数字既有整数又有分数时，将整数写成分数，再分别观察分子、分母的规律． 角度1　数式的排列规律 典例1　(2022·怀化)正偶数2，4，6，8，10……按如下规律排列： 2 4　　6 8　　10　　12 14 16 18 20 …… 则第27行的第21个数是744． 思路导析　观察可知第n行有n个数，则前n行共有个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几． 1．(2022·新疆)将全体正偶数排成一个三角形数阵： 第1题图 按照以上排列的规律，第10行第5个数是(　　) A．98 B．100 C．102 D．104 2．(2022·西藏)按一定规律排列的一组数据：，－，，－，， －，…，则按此规律排列的第10个数是(　　) A．－ B. C．－ D. 3．(2022·云南)按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…，第n个单项式是(　　) A．(2n－1)xn B．(2n＋1)xn C．(n－1)xn D.(n＋1)xn 4．(2023·安阳一模)如图，将数列排成一个三角形数阵： 第4题图 按照以上排列的规律，第11行从左数第5个数为(　　) A．119 B．－121 C．－117 D．123 角度2　等式的排列规律 典例2　(2022·嘉兴)设是一个两位数，其中a是十位上的数字(1≤a≤9)．例如，当a＝4时，表示的两位数是45. (1)尝试：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当a＝3时，352＝1 225＝_______________________； …； (2)归纳：2与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由； (3)运用：若2与100a的差为2 525，求a的值． 思路导析　(1)仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可； (2)由2＝(10a＋5)2＝100a2＋100a＋25，再计算100a(a＋1)＋25，从而可得答案； (3)由2与100a的差为2 525，列方程，整理可得a2＝25，解方程即可． 解：(1)①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当a＝3时，352＝1 225＝3×4×100＋25； 故答案为：3×4×100＋25； (2)相等，理由如下： ∵2＝(10a＋5)2＝100a2＋100a＋25， 100a(a＋1)＋25＝100a2＋100a＋25, ∴2＝100a(a＋1)＋25； (3)∵2与100a的差为2 525， ∴100a2＋100a＋25－100a＝2 525， 解得a＝±5， 又∵1≤a≤9，∴a＝5. 1．(2023·岳阳)观察下列式子： 12－1＝1×0；22－2＝2×1；32－3＝3×2；42－4＝4×3；52－5＝5×4…… 依此规律，则第n(n为正整数)个等式是 ． 2．(2023·临沂)观察下列式子： 1×3＋1＝22； 2×4＋1＝32； 3×5＋1＝42； …… 按照上述规律， ＝n2. 类型二　图形间的规律 解题攻略： (1)找关系：找后一个图形与前一个图形所求元素的个数之间的关系． (2)找规律：①若第一个图形所求元素为a，第二个图形所求元素比第一个图形所求元素个数多b个，且此后每一个图形所求元素个数比前一个图形所求元素个数多b个，则第n个图形所求元素个数为a＋b(n－1)；②也可以观察后一个图形所求元素