特训03 期中解答压轴题（六大题型归纳，含新高考压轴新题型）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第二册，浙江专用）

特训03 期中解答压轴题（六大题型归纳） 目录： 题型1：新高考压轴新题型（1-8题） 题型2：平面向量（9-12题） 题型3：解三角形（13-15题） 题型4：平面向量与解三角形结合（16-18题） 题型5：复数（19题） 题型6：立体几何（20-25题） 题型1：新高考压轴新题型 1．对于数集 ，其中 ， ．定义向量集 ．若对于任意 ，存在 ，使得 ，则称X具有性质P． (1)已知数集 ，请你写出数集 对应的向量集 ， 是否具有性质P？ (2)若 ，且 具有性质P，求x的值； (3)若X具有性质P，求证： ，且当 时， ． 2．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 ；当三角形有一内角大于或等于 时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是 三个内角A，B，C的对边，且 ，点 为 的费马点． (1)求角 ； (2)若 ，求 的值； (3)若 ，求 的取值范围． 3．在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点） ， ， ， ， 与 ， ， ， ， ，其中 ，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段 ，其中 ，则称 与 互为正交点列. (1)求 ： ， ， 的正交点列 ； (2)判断 ： ， ， ， 是否存在正交点列 ？并说明理由； (3) ， ，是否都存在无正交点列的有序整点列 ？并证明你的结论. 4．将平面直角坐标系中的一列点 、 、 、 、 ，记为 ，设 ，其中 为与 轴方向相同的单位向量.若对任意的正整数 ，都有 ，则称 为 点列. （1）判断 、 、 、 、 、 是否为 点列，并说明理由； （2）若 为 点列，且 .任取其中连续三点 、 、 ，证明 为钝角三角形； （3）若 为 点列，对于正整数 、 、 ，比较 与 的大小，并说明理由. 5．对平面向量 ，定义 . (1)设 ，求 ； (2)设 ， ， ， ， ，点 是平面内的动点，其中 是整数. （ⅰ）记 ， ， ， ， 的最大值为 ，直接写出 的最小值及当 取最小值时，点 的坐标. （ⅱ）记 .求 的最小值及相应的点 的坐标. 6．对于一组向量 ， ， ，…， ，（ 且 ），令 ，如果存在 ，使得 ，那么称 是该向量组的“长向量”． (1)设 ， 且 ，若 是向量组 ， ， 的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)若 ， 且 ，向量组 ， ， ，…， 是否存在“长向量”?给出你的结论并说明理由； (3)已知 ， ， 均是向量组 ， ， 的“长向量”，其中 ， ．设在平面直角坐标系中有一点列 ， ， ，…， 满足， 为坐标原点， 为 的位置向量的终点，且 与 关于点 对称， 与 （ 且 ）关于点 对称，求 的最小值． 7．设 是一个关于复数z的表达式，若 （其中x，y， ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 为虚数单位），就称f将点 “f对应”到点 ．例如 将点 “f对应”到点 ． (1)若 点 “f对应”到点 ，点 “f对应”到点 ，求点 、 的坐标； (2)设常数 ， ，若直线l： ， ，是否存在一个有序实数对 ，使得直线l上的任意一点 “对应”到点 后，点Q仍在直线 上？若存在，试求出所有的有序实数对 ；若不存在，请说明理由； (3)设常数 ， ，集合 且 和 且 ，若 满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有 ；②对于集合A中的任意一个元素 ，都存在集合D中的元素z使得 ．请写出满足条件的一个有序实数对 ，并论证此时的 满足条件． 8．利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对 （其中 ）视为一个向量，记作 ．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量 ， 的数量积定义为一个复数，记作 ，满足 ，复向量 的模定义为 ． (1)设 ， ， 为虚数单位，求复向量 、 的模； (2)设 、 是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量 ， ，（其中 ）， 成立，证明：对于复向量 、 ， 也成立； ②当 时，称复向量 与 平行．若复向量 与 平行（其中 为虚数单位， ），求复数 ． 题型2：平面向量 9．在 中，点 是 内一点， (1)如图，若 ，过点 的直线 交直线 分别于 两点，且 ，已知 为非零实数.试求 的值. (2)若 ，且 ，设 ，试将 表示成关于 的函数，并求其最小值. 10．在直角梯形 中，已知 ， ， ，动点 、 分别在线段 和