5.2二次函数的图像和性质1二次函数y=ax²a≠0的图像和性质课件 2023—2024学年苏科版数学九年级下册

5.2 二次函数的图像和性质 5.2.1 二次函数y=ax2(a≠0) 的图像和性质 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 二次函数y＝ax2的图像的画法 二次函数y＝ax2的图像和性质 知识点 二次函数y＝ax2的图像的画法 知1－讲 1 1. 用描点法画函数y＝ax2(a ≠ 0)的图像的一般步骤 (1)列表：列表时，自变量x的取值应有一定的代表性，并且所对应的函数值不能太大也不能太小，以便于描点和全面反映图像情况. 作图选点时，一般应先找出对称轴，然后在对称轴的两侧对称选取，应以计算简单、描点方便为原则. 知1－讲 (2)描点：一般来说，点取得越多、越密集，画出的图像就越准确. 实际画图时，一般取顶点及对称轴两侧对称的两对点，共5 个点，用“五点法”快速准确地作出函数图像，有时也会在对称轴的两侧各取3 个点画图. (3)连线：按自变量由小到大(或由大到小)的顺序，依次用平滑的曲线连接各点. 知1－讲 2. 抛物线 二次函数y＝ax2的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点、对称轴是y轴. 当a>0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当a<0 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点. 知1－讲 特别提醒 用描点法可以画出任意一个二次函数的图像.用描点法画出的图像只是二次函数图像的一部分，并且是近似的.在画二次函数图像时，画的线必须平滑，顶端不能画成尖的，一般来说，选点越多，图像越精确，但也要具体问题具体分析. 抛物线是向两方无限延伸的，画图时要画“出头”，左右两侧必须关于对称轴对称. 知1－练 例 1 在同一平面直角坐标系中作出y＝x2，y＝－x2和y＝ x2的图像. 解题秘方：用描点法，按列表→描点→连线的顺序作图. 知1－练 解：列表： x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y＝x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … y＝－x2 … －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 … y＝ x2 … 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 … 知1－练 描点、连线 ，即得三个函数的图像，如图5.2-1. 知1－练 注意 1. 由表格可知，在画y＝x2的图像时，我们可以先描出(0，0)及y轴一侧的点，然后根据对称性描出y轴另一侧的点，然后连线即可. 2. 由图像可知，二次函数y＝－x2的图像可以由y＝x2的图像沿x轴翻折，或绕其顶点旋转180°得到. 知2－讲 知识点 二次函数y＝ax2的图像和性质 2 二次函数y＝ax2(a ≠ 0)的图像和性质 y＝ax2 a＞0 a＜0 图像 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 (0，0) 知2－讲 y＝ax2 a＞0 a＜0 对称轴 y轴(或直线x＝0) 增减性 在对称轴的左侧， 即x＜0 时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即x＞0 时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即x＜0时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即x＞0 时，y随x的增大而减小 最值 当x＝0 时，y最小值＝0 当x＝0 时，y最大值＝0 续表 知2－讲 要点解读 1. 判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴分开，自左向右看，“上坡路”就是y随x的增大而增大，“下坡路”就是y随x的增大而减小. 2. 在二次函数y＝ax2(a ≠ 0) 中，|a|决定开口的大小． 知2－练 在同一坐标系中，抛物线y＝3x2，y＝x2，y＝－x2 的共同特点是( ) A. 关于y轴对称，开口向上 B. 关于y轴对称，y随x的增大而增大 C. 关于y轴对称，y随x的增大而减小 D. 关于y轴对称，顶点是原点 例2 知2－练 答案：D 解题秘方：先由抛物线表达式中a的值确定开口方向，再确定对称轴、顶点、增减性，由此即可得出结论. 解：∵ 3>0，>0，－<0，∴三条抛物线有的开口向上，有的开口向下. ∵三条抛物线表达式均符合y＝ax2的形式，∴三条抛物线的对称轴均为y轴，且顶点均为原点. 故选D. 知2－练 解法提醒 在分析二次函数的增减性时，都是以对称轴为分界线讨论的： 开口向下的抛物线，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小； 开口向上的抛物线，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大. 二次函数y=ax2(a≠0) 的图像和性质 y=ax2 性质 最小值为0 图像 x＞0时，y随x的增大而增大 x＜0时，y随x的增大而减小 最大值为0 x＞0时，y随x的增大而减小 x＜0时，y随x的增大而增大 有最低点 开口向上 开口向下 有最高点 a＞0 a＜0 $$