2024年中考数学一轮复习讲义 微专题12 截长补短法

对于与线段有关的几何图形问题，当条件或结论中出现a＋b＝c时，大多数情况用截长补短法都能解决．所谓截长补短法其实包含两层意思，即截长法和补短法． 截长法：通过添加辅助线先在较长线段c上截取与a相等的线段，再证明截剩部分与线段b相等． 补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段d使其等于两条线段之和，即d＝a＋b，再证所构造的线段d和求证的线段c相等即可． 类型一　多边形中的截长补短 典例1　如图，BA⊥AD，CD⊥AD，BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，求证：BC＝AB＋CD. 典例1图 思路导析　本题是典型的线段和差问题，有双角平分线，可提供相等的角作对应角，且角平分线是公共边，可以作为对应边，BC较长，自然想到用截长法，分为两段，一段保证与CD相等，证另一段与AB相等． 解：解法1：截长法 证明：在CB上截取CF＝CD，连接EF. 典例1图 ∵BA⊥AD，CD⊥AD， ∴∠A＝∠D＝90°. ∵BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 在△FCE和△DCE中， ∴△FCE≌△DCE(SAS)， ∴∠5＝∠D＝90°. ∴∠6＝∠A＝90°. 在△FBE和△ABE中， ∴△FBE≌△ABE(AAS) ∴BF＝BA. ∴BC＝BF＋FC＝BA＋CD. 解法2：补短法 证明：延长CD到点G，使CG＝CB，连接EG. 典例1图 在△BCE和△GCE中， ∴△BCE≌△GCE(SAS)． ∴∠3＝∠G，BE＝GE. 又∵∠3＝∠4， ∴∠4＝∠G. 在△BAE和△GDE中， ∴△BAE≌△GDE(AAS)． ∴BA＝DG. ∴BC＝CG＝CD＋DG＝CD＋BA. 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD的中点，BE平分∠CBA，求证：AB＝AD＋BC. 第1题图 2．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G，连接CG.求证：BG＋DG＝CG. 第2题图 类型二　圆中的截长补短 典例2　如图，等腰△ABC中，AC＝BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为上一点，CE⊥AD于点E.求证：AE＝BD＋DE. 典例2图 思路导析　分析条件找到相等的角和边，结合截长补短法构造全等三角形，转化线段． 解：解法1：截长法 证明：如图1，在AE上截取AF＝BD，连接CF，CD. 典例2图 在△ACF和△BCD中， ∴△ACF≌△BCD(SAS)． ∴CF＝CD. ∵CE⊥AD于E， ∴EF＝DE. ∴AE＝AF＋EF＝BD＋DE. 解法2：补短法 证明：如图2，作CG⊥BD，交BD的延长线于点G，连接CD. 典例2图 ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝∠BGC＝90°. 在△AEC和△BGC中， ∴△AEC≌△BGC(AAS)． ∴AE＝BG，CE＝CG. ∴Rt△CDE≌Rt△CDG(HL)． ∴DE＝DG. ∵BG＝BD＋DG， ∴AE＝BD＋ED. 1．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝BC＝AC，M是弧BC上任意一点，连接MA，MC，MB，求证：MA＝MB＋MC. 第1题图 2．如图，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点． (1)如图1，若点E在上，F是DE上的一点，DF＝BE.求证：△ADF≌△ABE； (2)在(1)的条件下，小明还发现线段DE，BE，AE之间满足等量关系：DE－BE＝AE.请你说明理由； (3)如图2，若点E在上，写出线段DE，BE，AE之间的等量关系．(不必证明) 第2题图 参考答案 类型一　多边形中的截长补短 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD的中点，BE平分∠CBA，求证：AB＝AD＋BC. 第1题图 证明：延长BE交AD的延长线于点F. 第1题图 ∵AD∥BC， ∴∠F＝∠EBC， ∵点E是边DC的中点， ∴DE＝EC. 在△DEF和△CEB中， ∴△DEF≌△CEB(AAS)， ∴DF＝BC， ∵BE平分∠CBA， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠F＝∠ABE， ∴AB＝AF＝AD＋DF＝AD＋BC. 2．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G，连接CG.求证：BG＋DG＝CG. 第2题图 证明：延长BF至点H，使HG＝DG，连接HD，BD，如图所示． 第2题图 ∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴在△ADE和△DBF中， ∴△ADE≌△DBF， ∴∠AED＝∠DFG，且∠ADE＝∠GDF， ∴∠DGF＝∠DAE＝60°. 又∵HG＝DG， ∴△HGD是等边三角形， ∴HD＝GD，∠HDG＝∠BDC＝60°， ∴∠HDG＋∠BDG＝∠BDC＋∠BDG， 即∠HDB＝∠GDC. 在△HBD和△GCD中， ∴