2024年九年级中考数学微专题11 构造隐形圆解决问题

模型一 利用圆的定义构造隐形圆 依据:圆的定义“在同一平面内,线段OA绕它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆”. 如图,由于OA=OB=OC,所以点A,B,C都在以定点O为圆心的同一个圆上. 1.如图,在 ABC内有一点D,使得DA=DB=DC,若∠DAB=20 ,则∠ACB= . 第1题图 2.如图,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,∠CBD=20 ,∠BDC=30 ,则∠BAD= . 第2题图 3.(2022 柳州)如图,在正方形ABCD中,AB=4,G是BC的中点,点E是正方形内一个动点,且EG=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90 得到线段DF,连接CF,则线段CF长的最小值为 . 第3题图 模型二 利用直角构造隐形圆 依据:直径所对的圆周角是直角;90 的圆周角所对的弦是直径. 如图,若AB为固定线段,点C为动点,且总有∠ACB=90 ,则点C在以AB为直径的圆上. 4.(2022 泰安)如图,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=4.点P是线段BC上一动点,点M为线段AP上一点.∠ADM=∠BAP,则BM的最小值为( ) 第4题图 A. B. C.- D.-2 5.如图,在Rt ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是 ABC内部的一个动点,且始终有AP⊥BP,则线段CP长的最小值为 . 第5题图 6.如图,正方形ABCD的边长为6,点E是边BC上一动点,点F在边CD上,BF⊥AE,则CG的最小值为 . 第6题图 7.如图,AB是⊙O的直径,点C是半圆的中点,且BC=4 cm,点D是上的一个动点,连接BD,过C点作CH⊥BD于点H,连接AH,在点D的运动过程中,AH长度的最小值是 . 第7题图 8.(2023 利州区模拟)如图,正方形ABCD中,AB=4,动点E从点A出发向点D运动,同时动点F从点D出发向点C运动,点E,F运动的速度相同,当它们到达各自终点时停止运动,运动过程中线段AF,BE相交于点P,M是线段BC上任意一点,则MD+MP的最小值为 . 第8题图 模型三 利用等角构造隐形圆 依据:同弧或等弧所对的圆周角相等. 如图,若∠C=∠D, 则点A,B,C,D在同一个圆上. 9.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90 ,AB=BC=4,点D是BC的中点,∠CAD=∠CBE,则AE=( ) 第9题图 A.4 B.3 C.2 D. 10.如图,在 ABC中,∠ACB=90 ,AB=5,∠CPB=∠A,tan∠CPB=,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q,则CQ的最大值为 . 第10题图 模型四 利用对角互补构造隐形圆 依据:圆内接四边形的对角互补. 如图,由于∠A+∠C=180 ,所以点A,B,C,D四点在同一个圆上. 11.如图,在四边形ABCD中,BD=4,∠BAD=∠BCD=90 ,则四边形ABCD面积的最大值为 . 第11题图 12.于彤同学在学习完“圆”这一章内容后,感觉到一些几何问题如果添加辅助圆,运用圆的知识解决,可以使问题变得非常容易.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90 ,∠BDC=25 ,则∠BAC的度数为 . 第12题图 13.如图,在 ABC中,∠ABC=60 ,BD平分∠ABC,且∠ADC=120 .求证:AD=DC. 第13题图 参考答案 模型一 利用圆的定义构造隐形圆 1.如图,在 ABC内有一点D,使得DA=DB=DC,若∠DAB=20 ,则∠ACB=70 . 第1题图 2.如图,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,∠CBD=20 ,∠BDC=30 ,则∠BAD=100 . 第2题图 3.(2022 柳州)如图,在正方形ABCD中,AB=4,G是BC的中点,点E是正方形内一个动点,且EG=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90 得到线段DF,连接CF,则线段CF长的最小值为2-2. 第3题图 模型二 利用直角构造隐形圆 4.(2022 泰安)如图,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=4.点P是线段BC上一动点,点M为线段AP上一点.∠ADM=∠BAP,则BM的最小值为( D ) 第4题图 A. B. C.- D.-2 5.如图,在Rt ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是 ABC内部的一个动点,且始终有AP⊥BP,则线段CP长的最小值为2. 第5题图 6.如图,正方形ABCD的边长为6,点E是边BC上一动点,点F在边CD上,BF⊥AE,则CG的最小值为3-3. 第6题图 7.如图,AB是⊙O的直径,点C是半圆的中点,且BC=4 cm,点D是上的一个动点,连接BD,过C点作CH⊥BD于点H,连接AH,在点D的运动过程中,AH长度的最小值是2-2. 第7题图 解析:连接AC,取BC的中点T,连接AT