第五章圆专题一构造圆的基本图形的七大技法习题课件 2023-2024学年鲁教版（五四制.）九年级数学下册

第五章 圆 构造圆的基本图形的七大技法 专题(一)　 如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，AE交⊙O于点B，E，且AB＝OC．若∠DOE＝72°，求∠A的度数． 1 2 解：连接OB.∵点B，E在⊙O上，CD为⊙O的直径， ∴OB＝OE＝OC.∴∠E＝∠EBO. ∵AB＝OC，∴OB＝AB.∴∠A＝∠AOB. ∵∠EBO＝∠A＋∠AOB，∴∠EBO＝2∠A. ∴∠E＝2∠A. 又∵∠DOE＝∠A＋∠E， ∴∠DOE＝∠A＋2∠A＝72°.∴∠A＝24°. 2 【2022·鸡西】如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为________． 【点拨】 5 3 【答案】 A 【点拨】 7 4 如图，在⊙O中，OA，OB为⊙O的半径，点C为优弧AB的中点，AD＝BE．求证：CD＝CE． 5 如图，点A，B，C是⊙O的三等分点． (1)求∠AOB的度数； (2)若AO＝4，求AB的长及△ABC的面积． 12 证明：连接AD. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵AB＝AC，∴BD＝CD. 6 【2022·呼和浩特】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE． (1)求证：BD＝CD； 13 7 如图，正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，在上取一点E，连接DE，BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF，AF，且AF与DE相交于点G．求证： (1)四边形EBFD是矩形； 证明：如图，连接BD. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°. ∴BD为⊙O的直径．∴∠BED＝∠BFD＝90°. ∵DF∥BE，∴∠EBF＝180°－∠DFB＝90°. ∴∠BED＝∠EBF＝∠BFD＝90°. ∴四边形EBFD是矩形． 证明：如图，连接OA.∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD.∴∠AOB＝∠AOD. ∵BD为⊙O的直径，∴∠BOD＝180°. ∵∠BOD＝∠AOB＋∠AOD， ∴∠AOB＝∠AOD＝90°. (2)DG＝BE． 8 如图，BC是半圆O的直径，点P是半圆的中点，点A是BP的中点，AD⊥BC于点D，连接AB，PB，AC，BP分别与AD，AC相交于点E，F． (1)求证：AE＝BE． ︵ 解：BE＝EF.理由如下：由(1)知∠BAC＝90°， ∴∠BAE＋∠FAD＝∠ABF＋∠AFB＝90°. ∵∠BAE＝∠ABF，∴∠FAD＝∠AFB. ∴EF＝AE.又∵AE＝BE，∴BE＝EF. (2)判断BE与EF是否相等，并说明理由． (3)小李通过操作发现CF＝2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式． 2 连接OA.∵AB垂直平分OC， ∴∠ADO＝90°，OD＝OC＝1，AD＝BD. ∴AB＝2AD＝2＝2＝2. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝8，OF＝，则OE的长为(　　) A．3 B．4 C．2 D．5 连接OB，AB.∵BD⊥AO，BD＝8，∴BE＝BD＝4. ∵OF⊥BC，∴CF＝FB. ∵CO＝OA，OF＝，∴AB＝2OF＝2， ∴在Rt△ABE中，AE＝＝2. ∵在Rt△BOE中，OB2＝OE2＋BE2，OB＝OA， ∴OA2＝(OA－2)2＋42，∴OA＝5， ∴OE＝OA－AE＝5－2＝3. 证明：连接OC.∵点C为优弧AB的中点，∴＝. ∴∠AOC＝∠BOC. 又∵AD＝BE，OA＝OB，∴OD＝OE. 在△COD和△COE中， ∴△COD≌△COE(SAS)．∴CD＝CE. 解：连接OC. ∵点A，B，C是⊙O的三等分点， ∴＝＝. ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝×360°＝120°. 解：过点O作OD⊥AB于点D， 则∠ODB＝90°，AB＝2BD. ∵OA＝OB，OA＝4， ∴∠OAB＝∠OBA＝(180°－∠AOB)＝30°，OB＝4. ∴在Rt△BOD中，OD＝OB＝2. ∴BD＝＝＝2. ∴AB＝2BD＝4. ∵OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠COA， ∴△AOB≌△BOC≌△COA. ∴S△AOB＝S△BOC＝S△AOC. ∴S△ABC＝3S△AOB＝3×·AB·OD＝×4×2＝12. (2)若tan C＝，BD＝4，求AE的长． 解：∵BD＝CD＝4，∴BC＝BD＋CD＝8. ∵∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°. ∴在Rt△ADC中，tan C＝， ∴AD＝CD·tan C＝4×＝2， ∴AC＝＝＝2. ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°. ∴∠AEB＝∠ADC.又∵∠C＝∠C， ∴△CDA∽△CE