第五章圆专题三全等三角形与相似三角形在圆中的综合运用习题课件　　2023—2024学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

全等三角形与相似三角形在圆中的综合运用 专题(三)　 【2023·德州德城区一模】如图，△ABC内接于半圆O，AB是直径，过A作直线MN，使∠MAC＝∠ABC． (1)求证：MN是半圆的切线； 1 2 证明：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°. ∵∠MAC＝∠ABC， ∴∠MAC＋∠BAC＝90°，即∠MAB＝90°， ∴MA⊥AB.∴MN是半圆的切线． 解：如图，DE即为所求． (2)已知弧AC的中点D，要求过D作DE⊥AB于E；(尺规作图，保留作图痕迹) (3)若BC＝4，AB＝6，求AE的长． 2 【2023·深圳】如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA＝3，AB＝2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题： ①过点A作切线AC，且AC＝4(点C在A的上方)； ②连接OC，交⊙O于点D； ③连接BD，与AC交于点E． 解：如图所示． (1)试说明：DB为⊙O的切线； (2)求AE的长度． 3 【2023·济宁学院附属中学二模】阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子，在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．苏联在1964年出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 下面是运用“补短法”证明CD＝AB＋BD的部分证明过程： 如图②，延长DB至点F，使BF＝BA，连接MF，MB，MC，MA，AC，…… 【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程． 4 【2022·泰州】如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E，F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5． 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒． (1)如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； 解：∵∠GOH＝90°，∴∠AOG＋∠BOH＝90°. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠GAO＝∠HBO＝90°， ∴∠AOG＋∠AGO＝90°， ∴∠AGO＝∠BOH. (2)在点B运动的过程中，当 AD，BC都与半圆O相交，设这两个交点分别为G，H，连接OG，OH．若∠GOH为直角，求此时t的值． 5 证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. 又∵∠DCB＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DCB. ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°， ∴∠DCB＋∠OCB＝90°， ∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD. 又∵OC为半径，∴DC为⊙O的切线． ︵ ︵ ︵ 6 28 (2)若AD＝5，AF＝6，求AG的长． 7 【2023·无锡】如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E．过点D的切线DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD． (1)求∠F的度数； (2)若DE·DC＝8，求⊙O的半径． 8 (2)若CG＝2GH，AB＝10，求AF的长． 【点方法】 遇到直径，构造对应的90°的圆周角． 解：如图，连接OD交AC于H. 由点D为的中点，易得OD⊥AC，AH＝CH， ∴∠OHA＝90°.∵OA＝OB，∴OH＝BC＝2. ∵DE⊥AB，∴∠OED＝90°.在△OAH和△ODE中， ∴△OAH≌△ODE， ∴OE＝OH＝2. ∵AB是直径，∴OA＝AB＝3， ∴AE＝OA－OE＝3－2＝1. ∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC. ∵OA＝3，AC＝4，∴OC＝＝5. ∵OA＝3，AB＝2，∴OB＝OA＋AB＝5. ∴OB＝OC.又∵OD＝OA，∠AOC＝∠DOB， ∴△AOC≌△DOB(SAS)． ∴∠OAC＝∠ODB＝90°.即OD⊥BD. 又∵点D在⊙O上，∴BD为⊙O的切线． 解：∵△AOC≌△DOB，∴BD＝AC＝4. ∵∠ABE＝∠DBO，∠BAE＝∠BDO＝90°， ∴△BAE∽△BDO， ∴＝，又∵OD＝OA＝3，AB＝2，BD＝4， ∴＝，解得AE＝. 【定理模型】如图①，已知AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是⊙O的一条折弦)，BC>AB，M是的中点，那么从点M向弦BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB＋BD． 证明：∵M是的中点，∴＝， ∴AM＝CM.∴∠MAC＝∠MCA. ∵∠MBC＝∠MAC，∠MBC＋∠MBF＝180°， ∠MBA＋∠MCA＝180°，∴∠MBF＝∠MBA， 又∵MB＝MB，BF＝BA，∴△MBF≌△MBA. ∴MF＝MA＝MC.∵MD⊥CF，∴DF＝CD. ∴FB＋BD＝CD.∴AB＋BD＝CD. 【问题解决】如图③，△ABC内接于⊙O，