第五章圆专题二证明圆的切线的常用方法习题课件 2023-2024学年鲁教版（五四制.）九年级数学下册

证明圆的切线的常用方法 专题(二) 1 2 2 (2)求证:直线PE是⊙O的切线. 3 【2022 北京】如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,AB⊥CD,连接AC,OD. (1)求证:∠BOD=2∠A; 解:连接OC. ∵F为AC的中点,∴AF=CF,DF⊥AC, ∴AD=CD,∴∠ADF=∠CDF. 由(1)知∠CAB=∠BAD. ∵OA=OD,∴∠BAD=∠ADF,∴∠CDF=∠CAB. (2)连接DB,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E,延长DO,交AC于点F.若F为AC的中点,求证:直线CE为⊙O的切线. ∵OC=OD,∴∠CDF=∠OCD,∴∠OCD=∠CAB. ∵∠CAB=∠CDE,∴∠CDE=∠OCD. ∵CE⊥DB,∴∠E=90 ,∴∠CDE+∠DCE=90 , ∴∠OCD+∠DCE=90 ,即OC⊥CE. 又∵OC为⊙O的半径,∴直线CE为⊙O的切线. 4 如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,BC=CD,连接AC,AD的延长线与BC的延长线相交于点E,过点C作CF垂直于AE,垂足为F. (1)求证:CF为⊙O的切线; 5 如图,⊙O是 ABC的外接圆,AB是直径,过点O作OD⊥CB,垂足为点D,延长DO交⊙O于点E,过点E作PE⊥AB,垂足为点P,作射线DP交CA的延长线于F点,连接EF,求证: (1)OD=OP; 证明:如图,连接EA.∵PE⊥AB,∴∠APE=90 . ∵AB是直径,∴∠C=90 . ∵OA=OE,∴∠2=∠AEO. ∵∠C=∠BDE=90 ,∴CF∥OE, ∴∠ODP=∠AFP,∠1=∠AEO, (2)FE是⊙O的切线. ∴ APE≌ AFE(SAS). ∴∠AFE=∠APE=90 .∵CF∥DE, ∴∠FED=90 ,即EF⊥OE. 又∵FE经过半径的外端,∴FE是⊙O的切线. 6 如图,O为正方形ABCD对角线AC上一点,以O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点M. 求证:CD与⊙O相切. 22 证明:(方法一)连接OM,过点O作ON⊥CD于点N. ∵⊙O与BC相切于点M,∴OM⊥BC. ∵O为正方形ABCD对角线AC上一点, ∴∠OCM=∠OCN.又∵OM⊥BC,ON⊥CD, ∴OM=ON.∴ON为⊙O的半径. ∴CD与⊙O相切. (方法二)连接OM,过点O作ON⊥CD于点N. ∵⊙O与BC相切于点M,∴OM⊥BC. ∴∠OMC=90 . ∵四边形ABCD为正方形,O为其对角线AC上一点,∴∠OCM=∠OCN. ∵ON⊥CD,∴∠ONC=90 . ∴∠OMC=∠ONC. 如图,O,C为线段AB的三等分点,点P是以AC为直径的⊙O上的一点,且BP=2,AB=6. (1)求证:直线BP是⊙O的切线; 证明:连接OP. ∵O,C为线段AB的三等分点,AB=6, ∴OA=OC=CB=2.∴OP=OA=2. 又∵BP=2,∴OP2+PB2=22+(2)2=16. ∵OB2=(2+2)2=16. ∴OP2+PB2=OB2. ∴∠OPB=90 ,即OP⊥PB. ∴直线BP是⊙O的切线. (2)直线EB交⊙O于E,F两点,若BF=, 求∠AOE的大小. 解:连接AE,CF. ∵∠BFC=∠BAE,∠CBF=∠EBA, ∴ CBF∽ EBA.∴=.∴BE BF=BC BA. ∴ BE=2 6.∴BE=2. 又∵OE=OA=2,OB=4,∴OE2+OB2=20=BE2. ∴∠BOE=90 .∴∠AOE=90 . 如图,已知A,B,C,D,E是⊙O上五点,⊙O的直径BE=2,∠BCD=120 ,A为的中点,延长BA到点P,使AP=BA,连接PE. (1)求线段BD的长; 解:连接DE. ∵∠BCD+∠DEB=180 , ∴∠DEB=180 -120 =60 . ∵BE为直径,∴∠BDE=90 . 在Rt BDE中, BD=BE sin∠DEB=2 =3. 证明:连接EA.∵BE为直径,∴∠BAE=90 . ∴EA⊥BA.∵A为的中点,∴=,∴AB=AE, ∴∠ABE=45 .∵BA=AP,EA⊥BA,∴BE=PE, ∴∠P=∠ABE=45 . ∴∠PEB=90 ,即PE⊥BE, ∴直线PE是⊙O的切线. 证明:连接AD,∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD, ∴=,∴∠CAB=∠BAD. ∵∠BOD=2∠BAD, ∴∠BOD=2∠CAB. 证明:连接OC. ∵BC=CD,∴=,∴∠DAC=∠BAC. ∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AE. 又∵CF⊥AE,∴OC⊥CF. ∵OC为⊙O的半径,∴CF为⊙O的切线. (2)若BC=3,CF=,求⊙O的半径. 解:∵BC=CD,BC=3,∴CD=3. ∵CF⊥AE,∴∠DFC=90 , ∴DF==