第6章特殊平行四边形专题一特殊平行四边形的性质与判定的综合应用习题课件2023-2024学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

鲁教五四版 八年级下 第六章 特殊平行四边形 专题(一)　 特殊平行四边形的性质与判定的综合应用 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作CD的垂线，垂足为点E，延长CD到点F，使 DF＝CE，连接AF. 1 2 (1)求证：四边形ABEF是矩形． 【证明】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∵CE＝DF，∴CD＝CE＋DE＝DF＋DE＝EF， ∴AB＝EF，∴四边形ABEF是平行四边形． 又∵BE⊥EF， ∴∠BEF＝90°，∴四边形ABEF是矩形． 3 (2)若AD＝13，AC＝24，求AF的长． 4 【2023·青岛市南区期末】如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为OC的中点，过点O作OH∥BC交BE的延长线于点H，连接CH，DH. 2 (1)求证：△BCE≌△HOE. (2)当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由． 【解】当四边形ABCD是矩形时，四边形OCHD为菱形.理由如下：由(1)可知△BCE≌△HOE，∴BE＝HE.又∵CE＝OE，∴四边形BCHO是平行四边形，∴CH＝OB，CH∥OB.∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴CH＝OD，OC＝OD，∴四边形OCHD是平行四边形．又∵OC＝OD，∴▱OCHD是菱形. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF是正方形． 3 【证明】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是菱形．∵OE＝OA，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC， ∴菱形AECF是正方形． 如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，点P是边AD上一点(与点A，D不重合)，射线PE与BC的延长线交于点Q. 4 (1)求证：△PDE≌△QCE. 【证明】∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠BCD＝90°，∴∠ECQ＝90°＝∠D.∵E是边CD的中点，∴DE＝CE.又∵∠DEP＝∠CEQ，∴△PDE≌△QCE. (2)过点E作EF∥BC交PB于点F，连接AF，当PB＝PQ时. ①求证：四边形AFEP是平行四边形． ②请判断四边形AFEP是否是菱形，并说明理由． 15 【2023·济南市中区月考】如图，在正方形ABCD和▱BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC． 5 (1)求证：四边形BEFG是矩形． 【证明】∵在正方形ABCD中，∠ABC＝90°， ∴∠EBG＝90°，∴▱BEFG是矩形． (2)当∠CPG＝________°时，四边形BEFG是正方形，请说明理由． 90 【解】理由：延长GP交DC于点H， ∵在正方形ABCD和▱ BEFG中，AB∥DC，BE∥GF，∴DC∥GF，∴∠HDP＝∠GFP，∠DHP＝∠FGP. ∵P是线段DF的中点，∴DP＝FP，∴△DHP≌△FGP(AAS)，∴DH＝GF，HP＝GP. 当∠CPG＝90°时，∠CPH＝90°＝∠CPG. ∵CP＝CP，∴△CPH≌△CPG(SAS)，∴CH＝CG. ∵在正方形ABCD中，DC＝BC， ∴DH＝BG，∴BG＝GF，由(1)知四边形BEFG是矩形，∴四边形BEFG是正方形． 四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点． (1)若AC＝EC，如图①，求证：四边形BECD为平行四 边形． 6 20 【证明】∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD，CB⊥AE. 又∵AC＝EC，∴AB＝BE.∴BE＝CD. 又∵BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形． 21 (2)若AB＝AD，点F是AB上的一点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图②，求证：△DGF是等腰直角三角形． 22 23 如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F. 7 (1)探究OE与OF的数量关系，并加以证明． 【解】OE＝OF. 证明：∵MN∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF. 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF. (2)连接BE，当点O在边AC上运动时，四边形BCFE能否为菱形？若能，请证明；若不能，请说明理由． (3)连接AE，AF，当点O运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由． 【解】当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形. 理由：当点O运动到AC的中点时，OA＝OC. 又∵OE＝OF，∴