2.1.3 基本不等式的应用 学案-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

2.1.3　基本不等式的应用 【学习目标】 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.(逻辑推理、数学运算) 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(逻辑推理、数学运算) 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.(数学建模) 【自主预习】 预学忆思 1.已知x,y都为正数,若积xy是定值p,如何求它们和的最小值? 2.已知x,y都为正数,如果和x+y是定值s,如何求积xy的最大值? 3.两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗? 自学检测 1.若实数a,b满足a+b=1,则ab的最大值为(　　). 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.2 B.1 C. D. 2.已知实数x,y满足x>0,y>0,且+=1,则x+2y的最小值为(　　). A.2 B.4 C.6 D.8 3.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=　　　　.  【合作探究】 探究1：利用基本不等式求条件最值 情境设置 已知正数x,y满足+=1. 问题1:能直接利用“1”的代换求x+y的最小值吗?为什么? 问题2:怎样变形能利用“1”的代换求最值? 问题3:你能根据问题2的方法,求x+y的最小值吗? 新知生成 　　若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值.其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式. 新知运用 例1　已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值. 　　【变式探究1】本例条件变为“x>0,y>0,2x+8y=xy”,试求x+y的最小值. 　　【变式探究2】本例条件变为“x>0,y>0,x+y=1”,试求+的最小值. 【方法总结】1.常值代换法适用于求解条件最值问题.求最值的方法步骤: (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); (2)把确定的定值(常数)变形为1; (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式; (4)利用基本不等式求解最值. 2.若常值代换法不适用于求条件最值,则对条件变形,直接使用基本不等式,建立以目标函数为整体的不等式,解不等式可得最值. 巩固训练 　　已知x,y均为正实数,且满足x+2y=2xy. (1)求xy的最小值; (2)求x+y的最小值. 探究2：基本不等式的应用 一、基本不等式在生活中的应用 例2　某单位建造一间背面靠墙的小房,地面是面积为12平方米的矩形,房高为3米.因地理位置的限制,房屋侧面的宽度x不得超过5米,房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,不计房屋背面的费用,设房屋的总造价为y元. (1)求y用x表示的函数关系式. (2)当x为多少时,总造价最低?最低总造价是多少? 方法指导　(1)由侧面宽度为x米,可得正面长度为米,再求正面与侧面的费用,结合屋顶和地面的造价费用合计为5800元,即可得答案;(2)结合(1)中解析式,直接利用基本不等式求解即可. 【方法总结】解决实际问题时,先弄清题意(审题),建立数学模型(列式),再用所掌握的数学知识解决问题(求解),最后要回应题意下结论(作答). 巩固训练 某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,若将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用(单位:元)为560+48x.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 二、基本不等式在几何中的应用 例3　如图所示,设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24,把它沿AC翻折,翻折后AB'交DC于点P,设AB=x. (1)用x表示DP,并求出x的取值范围; (2)求△ADP面积的最大值及此时x的值. 巩固训练 如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=4米,AD=3米,当BM=　　　　时,矩形花坛AMPN的面积最小.  【随堂检测】 1.已知a>0,b>0,且2a+=1,则+b的最小值为(　　). 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.2 B.3 C.8 D.9 2.(多选题)已知a>0,b>0,a+b=2,则对于+,下列说法正确的是(　　). A.取最值时,a= B.最大值是5 C.取最值时,b= D.最小值是 3.一批货物随17列火车从A市以v千米/时的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列火车的间距不得小于2千米,那