4.1 两个计数原理 学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

4.1　两个计数原理 【学习目标】 1.通过实例,能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.(数学抽象) 2.正确理解“完成一件事情”的含义,能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.(数学抽象) 3.能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题.(数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.计数问题是我们从小就经常遇到的,通过列举一个一个的数是计数的基本方法,但当问题中的数量很大时,列举的方法效率不高,此时能否设计巧妙的“计数法”来提高效率呢?是什么计数法? 2.使用分类加法计数原理的关键是什么?有什么要求? 3.使用分步乘法计数原理的关键是什么?有什么要求? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在分类加法原理中,两类办法中的某两种方法可以相同. (　　) (2)在分类加法原理中,任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事. (　　) (3)在分步乘法原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的. (　　) (4)在分步乘法原理中,如果事情是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成. (　　) 2.已知从甲地到乙地,一天中有5次火车,12次客车,3次飞机航班,还有6次轮船.某人某天要从甲地到乙地,则共有不同走法的种数是(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.26 B.60 C.18 D.1080 3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,那么不同的配法种数为　　　　.  4.多项式(a1+a2+a3)(b1+b2)+(a4+a5)(b3+b4)的展开式共有　　　　项.  【合作探究】 探究1：分类加法计数原理 情境设置 　　问题1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号,总共能编出多少种不同的号码? 问题2:在1,2,3,4四个数字中任取数(不重复取)作和,则取出这些数的不同的和有多少种? 问题3:你能说说解决以上问题的步骤吗? 新知生成 1.分类加法计数原理 如果完成一件事有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,…,在第n类办法中有mn种不同的方法,且每种方法都能独立完成这件事,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法,我们把这叫作分类加法计数原理,简称为分类计数原理,或加法原理. 注意:完成这件事的若干种方法可以分成n类,且类与类之间两两不相交. 2.使用分类加法计数原理计数的两个条件 (1)根据问题的特点确定一个适合它的分类标准,在这个标准下进行分类. (2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,分别属于不同类的两种方法是不同的方法,满足这些条件,才可以用分类加法计数原理. 新知运用 例1　(1)某同学计划用不超过30元的现金购买笔与笔记本.已知笔的单价为4元,笔记本的单价为5元,且笔至少要买2支,笔记本至少要买2本,问不同的购买方案有多少种? (2)在所有的两位数中,个位数字小于十位数字的两位数共有多少个? 【变式探究】将本例(2)中的“小于”改为“大于”,其他条件不变,两位数共有多少个?若把“小于”改为“不大于”,怎样求解? 【方法总结】利用分类加法计数原理计数时的解题流程 警示:确定分类标准时要确保每一类都能独立完成这件事. 巩固训练 　　设椭圆+=1(a>0,b>0)的焦点在y轴上,其中a∈ {1,2,3,4,5},b∈,求满足上述条件的椭圆的个数. 探究2：分步乘法计数原理 情境设置 　　如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动. 问题1:小明从E处到F处的最短路径有多少条? 问题2:小明到老年公寓可以选择的最短路径有多少条? 新知生成 分步乘法计数原理 如果完成一件事需要分成n个步骤,第一步有m1种不同的方法,第二步有m2种不同的方法,…,第n步有mn种不同的方法,每个步骤都完成才算做完这件事,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.我们把这叫作分步乘法计数原理,简称为分步计数原理,或乘法原理. 新知运用 例2　已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问: (1)P(a,b)可表示平面上多少个不同的点? (2)P(a,b)可表示平面上多少个第二象限的点? (3)P(a,b)可表示多少个不在直线y=x上的点? 方法指导　确定点P,需要依次确定点P的横坐标和纵坐标,故用分步乘法计数原理求解. 　 【方法总结】利用分步乘法计数原理解题的一般思路 (1)将完成这件事的过程分成若干步; (2)求出每一步