3.3.2 抛物线的简单几何性质 学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

3.3.2　抛物线的简单几何性质 【学习目标】 1.掌握抛物线的简单几何性质:范围、对称性、顶点、离心率.(直观想象) 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题.(数学运算) 3.对通径、焦半径公式进行初步探索.(逻辑推理) 【自主预习】 预学忆思 　　预习教材,类比椭圆、双曲线的几何性质,结合图形,说出抛物线y2=2px(p>0)的下列性质. 1.抛物线y2=2px(p>0)中,x,y的范围是什么? 2.抛物线y2=2px(p>0)的对称轴是什么?是否存在对称中心? 3.抛物线的顶点坐标有几个?顶点坐标是什么? 4.抛物线的离心率是多少? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线关于顶点对称. (　　) (2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心. (　　) (3)虽然抛物线的标准方程各不相同,但是抛物线的离心率都相同. (　　) (4)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同. (　　) 2.若直线AB与抛物线y2=4x交于A,B两点,且AB⊥x轴,|AB|=4,则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.5 3.(多选题)对于抛物线x2=y,下列描述正确的是(　　). A.开口向上,焦点为(0,2) B.开口向上,焦点为0, C.焦点到准线的距离为4 D.准线方程为y=-4 4.过抛物线y2=2x的焦点且与对称轴垂直的弦长为　　　　　　.  【合作探究】 探究1：抛物线的简单几何性质 情境设置 　　问题1:观察图形,你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗?从“数”的角度,也就是从抛物线方程的角度,怎样得到抛物线中横、纵坐标的取值范围呢? 问题2:从“数”的角度,怎样说明抛物线y2=2px,p>0关于x轴对称? 问题3:从“数”的角度,如何从方程中得到抛物线的顶点? 问题4:从“数”的角度,如何得到抛物线的离心率? 新知生成 抛物线的简单几何性质 标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图象 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e=1 新知运用 例1　已知抛物线y2=8x. (1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、x的取值范围; (2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长. 【方法总结】抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.其中应用最广泛的是取值范围、对称性、顶点坐标.在解题时,应先注意开口方向、焦点位置,选准标准方程形式,然后利用条件求解.另外,要注意运用数形结合思想,根据抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化. 巩固训练 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A,B两点,|AB|=2,求抛物线的方程. 探究2：直线与抛物线的位置关系 情境设置 　　问题1:若直线与抛物线有且只有一个公共点,则直线与抛物线相切吗? 问题2:如何判断点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p>0)的位置关系? 新知生成 直线与抛物线的位置关系 直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)的交点个数取决于关于x的方程组的解的个数,即一元二次方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0的解的个数. 当k≠0时,若Δ>0,则直线与抛物线有两个不同的公共点;若Δ=0,则直线与抛物线有一个公共点;若Δ<0,则直线与抛物线没有公共点. 当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时直线与抛物线有一个公共点. 新知运用 例2　已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,求当k分别为何值时,直线l与抛物线C:①只有一个公共点;②有两个公共点;③没有公共点. 【方法总结】判断直线与抛物线的位置关系的方法:联立方程组消元,当二次项系数不等于零时,用判别式Δ来判定;当二次项系数等于0时,直线与抛物线相交于一点. 巩固训练 若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax恰好有一个公共点,试求实数a的取值集合. 探究3：与抛物线有关的弦长问题 情境设置 　　问题1:连接抛物线上一点A与焦点F的线段叫作抛物线的焦半径.你能否得到抛物线y2=2px(p>0)的焦半径公式? 问题