2.1.3 基本不等式的应用 课件-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 相等关系与不等关系 1 2.1.3 基本不等式的应用 2 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.（逻辑推理、数学运算） 2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（逻辑推理、数学运算） 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.（数学建模） 学习目标 3 1.已知 ， 都为正数，若积 是定值 ，如何求它们和的最小值？ [答案] 根据基本不等式求它们和的最小值.因为 ， 都为正数，且 是定值 ， 所以 ，当且仅当 时等号成立， 所以 的最小值为 . 自主预习 4 2.已知 ， 都为正数，如果和 是定值 ，如何求积 的最大值？ [答案] 由已知可得 ，所以 ，当且仅当 时，积 有最大值，最大值为 . 3.两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？ [答案] 不一定.应用基本不等式求最值时还要求等号能取到. 5 1.若实数 ， 满足 ，则 的最大值为( ). D A.2 B.1 C. D. [解析] ， ， ，即 ，当且仅当 时等号成立， . 6 2.已知实数 ， 满足 ， ，且 ，则 的最小值为( ). D A.2 B.4 C.6 D.8 [解析] ， ，且 ， ，当且仅当 ， ，即 ， 时等号成立，故 的最小值为8. 7 3.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买 吨，运费为4万元/次，一年的总存储 费用为 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 ____. 20 [解析] 总运费与总存储费用之和 ， 当且仅当 ，即 时等号成立. 8 探究1 利用基本不等式求条件最值 已知正数 ， 满足 . 问题1： 能直接利用“1”的代换求 的最小值吗？为什么？ [答案] 不能，因为相乘后，不能凑出积为定值的形式，故不能利用基本不等式求最值. 合作探究 9 问题2： 怎样变形能利用“1”的代换求最值？ [答案] 已知条件无法变换，故先把 变形，即 ，再利用“1” 的变换求最值. 问题3： 你能根据问题2的方法，求 的最小值吗？ [答案] 因为 ， ， , 所以 , 当且仅当 ，即 , 时等号成立，所以 的最小值为8. 10 新知生成 若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值；若是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值.其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式. 11 新知运用 例1 已知 ， ，且 ，求 的最小值. [解析] ， ， ， ，当且仅当 即 时等号成立， 的最小值为16. 12 【变式探究1】 本例条件变为“ ， ， ”，试求 的最小值. [解析] 由 ，得 . ， ， ， ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 的最小值是18. 13 【变式探究2】 本例条件变为“ ， ， ”，试求 的最小值. [解析] 由 ，当且仅当 ， ,即 ， 时等号成立， 的最小值为16. 14 &1& 1.常值代换法适用于求解条件最值问题.求最值的方法步骤: （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值. 2.若常值代换法不适用于求条件最值，则对条件变形，直接使用基本不等式，建立以目标函数为整体的不等式，解不等式可得最值. 15 已知 , 均为正实数，且满足 . （1）求 的最小值； （2）求 的最小值. [解析] （1）因为 , ，且 ， 由基本不等式得 ， 解得 ， 所以 ，当且仅当 即 时等号成立， 所以 的最小值为2. 16 （2）因为 , ，且 ， 所以 ， 所以 ， 当且仅当 即 时等号成立， 所以 的最小值为 . 17 探究2 基本不等式的应用 一、基本不等式在生活中的应用 例2 某单位建造一间背面靠墙的小房，地面是面积为12平方米的矩形，房高为3米.因 地理位置的限制，房屋侧面的宽度 不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米， 房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，不计房屋背 面的费用，设房屋的总造价为 元. （1）求 用 表示的函数关系式. （2）当 为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 18 方法指导 （1）由侧面宽度为 米，可得正面长度为 米，再求正面与侧面的费用，