2.6.1 直线与圆的位置关系学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.6.1　直线与圆的位置关系 【学习目标】 1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.(直观想象) 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.我们已经学习了直线与圆的位置关系,怎样用几何法判断直线与圆的位置关系? 2.如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系? 3.用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果直线与圆组成的方程组有解,那么直线与圆相交或相切. (　　) (2)直线x+2y-1=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是相交. (　　) (3)过圆内一点一定能作圆的两条切线. (　　) (4)若一条直线与圆相交,所得的弦长是圆的弦中最长的,则这条直线一定过圆心. (　　) 2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 3.设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2-2x-3=0相交于点A,B,则弦AB的垂直平分线的方程是　　　　　　.  4.若过点M(2,-3)作圆C:x2+y2=13的切线,则切线的方程为　　　　.  【合作探究】 探究1：直线与圆的位置关系 情境设置 　“海上生明月,天涯共此时”表达了诗人望月怀人的深厚情谊.在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的“小脑袋”,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现出迷人的风采. 问题1:在这个过程中,将月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,则月出的过程中体现了直线与圆的几种位置关系? 问题2:直线与圆相交有几个交点?圆心到直线的距离比半径大还是小? 新知生成 1.直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法:设圆心到直线的距离d= d<r d=r d>r 代数法:将直线与圆的方程联立,消元得到一元二次方程的根的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0 新知运用 例1　已知直线方程为mx-y-m-1=0,圆的方程为x2+y2-4x-2y+1=0.求当m为何值时,圆与直线: (1)有两个公共点? (2)只有一个公共点? (3)没有公共点? 【方法总结】判断直线与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断. 巩固训练 1.直线l: y-1=k(x-1)和圆x2+y2-2y=0的位置关系是(　　). A.相离　　　　　　　　 B.相切或相交 C.相交 D.相切 2.设m>0,则直线l:(x+y)+1+m=0与圆O:x2+y2=m的位置关系为(　　). A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切 探究2：圆的弦长问题 情境设置 　　我们知道直线与圆有三种位置关系,其中相交是最重要的一种,如图所示. 问题1:如何求图中AB的长度? 问题2:除了解直角三角形,还有其他求弦长的方法吗? 新知生成 　　求弦长常用的三种方法: (1)利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系l2+d2=r2解题; (2)利用交点坐标,若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长; (3)利用弦长公式,设直线l:y=kx+b,与圆的两交点为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长l=|x1-x2|==|y1-y2|. 注意点:(1)弦长公式的前提是判别式大于零; (2)斜率不存在时|AB|=|y1-y2|. 新知运用 例2　求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长. 方法指导　(法一)首先求圆心、半径,然后解弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形即可. (法二)求交点坐标,利用两点间距离公式求弦长. (法三)利用弦长公式求弦长. 【方法总结】求弦长常用的三种方法:(1)利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系解题.(2)先求交点坐标,再直接用两点间距离公式计算弦长.(3)利用弦长公式求解. 巩固训练 1.已知圆(x-2)2+y2=9,则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的弦长之和为(　　). A.4　　　　　B.6