4.2两角和与差的三角函数公式（5知识点+10题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

4.2两角和与差的三角函数公式 课程标准 学习目标 1.重点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导. 2.难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明. 1.能够推导两角差的余弦公式: 2.能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式; 3.能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明: 知识点01 两角和与差的余弦 1、两角差的余弦公式：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，α，β∈R 2、两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，α，β∈R 【即学即练1】（22-23高一下·江西赣州·阶段练习）计算（    ） A． B． C． D． 知识点02 两角和与差的正弦 1、两角和的正弦：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， α，β∈R 2、两角差的正弦：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，α，β∈R 【即学即练2】（21-22高一下·四川成都·期末）（    ） A． B． C． D． 知识点03 两角和与差的正切 1、两角和的正切：tan(α＋β) ＝，α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 2、两角差的正切：tan(α－β) ＝，α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 【即学即练3】（22-23高一·全国·随堂练习）求下列各式的值： (1)； (2)． 知识点04 辅助角公式 辅助角公式：函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)（其中）或f(α)＝·cos(α－φ)（其中） 【即学即练4】（23-24高一下·上海·阶段练习）把化成的形式是 ． 知识点05 积化和差与和差化积 1、积化和差： ①； ②； ③； ④； 2、和差化积： ①； ②； ③； ④； 【即学即练5】（21-22高一·湖南·课后作业）利用和差化积公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【题型一：两角和余弦求值】 例1．（2024高一下·江苏·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，(   ) A．1 B． C． D． 变式1-1．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知，，则 变式1-2．（23-24高一上·上海·期末）已知为锐角，，则 . 变式1-3．（2024高一下·江苏·专题练习）化简下列三角函数的值： (1)； (2). 【方法技巧与总结】 1.在两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中，只要用-β替换β，便可以得到两角和的余弦公式. 2.可简单记为“余余正正，符号相反”，即展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反.. 【题型二：两角和余弦逆用】 例2．（22-23高一下·江苏连云港·阶段练习）=（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末） . 变式2-2．（21-22高一上·安徽宿州·期末）cos 28°cos 32°－cos 62°sin 32°= ． 变式2-3．（2024高一下·江苏·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【方法技巧与总结】 1.运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，不要死记. 2.在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值. 【题型三：两角和正弦求值】 例3．（22-23高一下·北京丰台·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（22-23高一上·浙江丽水·期末）若，且，，则 . 变式3-2．（22-23高一下·重庆渝中·期中）已知锐角满足，则 ． 变式3-3．（22-23高一·全国·课堂例题）已知，为第二象限角，，，求与的值． 【方法技巧与总结】 两角和与差的正弦公式结构特征 1.a，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体。 2.记忆口诀：异名同号。 【题型四：两角和正弦逆用】 例4．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（23-24高一上·安徽·期末）计算（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）化简，得（    ） A． B． C． D． 变式4-3．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）（　　） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1.运用两角差的正弦公式解决问题