18.2 矩形的性质与判定（九大题型）-（题型·技巧培优系列）2023-2024学年八年级数学下册同步精讲精练（人教版）

（人教版）八年级下册数学《第十八章 平行四边形》 18.2 矩形的性质与判定 知识点一 矩形的定义 ●●定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【注意】（1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2）矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可. （3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用. 知识点二 矩形的性质 ●●性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等. 几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD. ★1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质. ★2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线. ★3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质. ★4、矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和. 知识点三 直角三角形斜边上的中线 ★1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言：∵ 在Rt△ABC中，点O是AB的中点， ∴ OB=AO=CO=AC. ★3、直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半、三角形的中位线定理都是证明线段倍分关系的重要依据．“三角形的中位线定理”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形. 知识点四 矩形的判定 ●矩形的判定方法： 方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法二：对角线相等的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法三：有三个角是直角的四边形是矩形； 几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形. ◆思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等. 题型一 利用矩形的性质求线段长 【例题1】（2024•深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（　　） A． B． C．4 D．2 解题技巧提炼 在利用矩形的性质计算线段长度时，常常与特殊三角形的性质和勾股定理结合起来应用. 【变式1-1】（2022秋•锦江区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．对角线AC，BD相交于点O．点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1-2】（2022秋•峰峰矿区校级期末）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（　　） A．22 B．1 C．1 D．2 【变式1-3】（2022春•余干县期末）已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（　　） A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm 【变式1-4】（2024•秦都区校级一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（　　） A．2 B． C． D．3 【变式1-5】（2022春•碑林区校级期末）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　） A． B． C． D．不确定 【变式1-6】（2023春•丹阳市期中）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED． （1）判断△BEC的形状，并说明理由； （2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求DE的长． 题型二 利用矩形的性质求角度 【例题2】（2022秋•衡南县期末）如图，分别在长方形ABCD的边DC，BC上取两点E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝（　　） A．45° B．30° C．15° D．60° 解题技巧提炼 矩形内求角度的