专题 2 勾股定理的应用 【10大常考题型+过关训练】-2023-2024学年八年级数学下学期期中期末综合复习专题训练（人教版）

专题 2 勾股定理的应用 题型导航 勾 股 定 理 的 应 用 题型1求旗杆的高度 求梯子滑落的高度 题型2求小鸟飞行的距离 题型3 题型4求大树折断前的高度 题型5解决水杯中筷子问题 题型6解决航海问题 题型7 求河宽 题型8求台阶地毯的长度 题型9立体图形中的最短路径问题 判断是否受影响 题型10 题型变式 【题型一 求梯子滑落的高度】 例题：如图，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这是梯子下端B与墙角距离为米，梯子滑动后停在的位置上．现在测得长为米，求梯子顶端A下落了（　　） A．米 B．米 C．米 D．1米 【变式1-1】 1．如图，一架2.5m长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为1.5m，则梯子的顶端距地面为 m．    【变式1-2】 2．如图，一架方梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． (1)这个梯子的顶端离地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【题型二 求旗杆的高度】 例题：小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米．当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（    ） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 【变式2-1】 1．如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离长为，点D到旗杆的水平距离为，若设旗杆的高度长为，则根据题意所列的方程是 ．    【变式2-2】 2．如图，小明先把升旗的绳子贴紧旗杆，将其拉直到旗杆底端，绳子的末端刚好接触地面D处．然后又将绳子拉紧，将末端拉到距旗杆水平距离8米的C处，此时绳子末端距离地面2米．求旗杆的高度． 【题型三 求小鸟飞行的距离】 例题：如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　） A．m B．4m C．m D． 【变式3-1】 1．有一只鸟在一棵高米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树米，高米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以米秒的速度飞向大树树梢，那么这只鸟至少 秒才能到达大树和伙伴在一起． 【变式3-2】 2．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ 【题型四 求大树折断前的高度】 例题：如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端落在离树底部处，则树折断之前高（    ）    A． B． C． D． 【变式4-1】 1．如图，有一棵大树在离地面处断裂，树的顶部落在离树的底部处，这棵树折断之前高度为 ． 【变式4-2】 2．如图，一场大风过后，垂直于地面的一棵大树在距离地面的C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量，则大树的原来高度为多少米？ 【题型五 解决水杯中筷子问题】 例题：如图是一个底面半径为，高为的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】 1．如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度是 ． 【变式5-2】 2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？    【题型六 解决航海问题】 例题：《九章算术》中记载着这样一个问题：如图，已知甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间．根据勾股定理可列得方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】 1．一艘轮船以的速度从港口出发向东北方向航行，同时另一艘轮船也从港口出发以的速度向东南方向航行，半小时后它们相距 ． 【变式6-2】 2．如图，一艘货轮在上午8：00时位于A处，沿A到B的方向航行，10：00时该货轮位于B处，求该货轮航行的速度． 【题型七 求河宽】 例题：如图，湖的两岸有两点，在与成直角的方向上的点处测得米，米，则两点间的距离为（    ）    A．40米 B．30米 C．50米 D．米 【变式7-1】 1．某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山