单元提分专题10 多项式乘法中的规律性问题-2023-2024学年七年级数学下册单元测试定心卷（苏科版）

专题10 多项式乘法中的规律性问题（原卷） 1．观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：，… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 2．多项式的因式分解与整式乘法的过程恰好相反．请通过解决下面的问题再次体会二者之间的关系． 旧知回顾 （1）计算：________． ________． 归纳总结 （2）观察上面的式子和结果的特点，总结规律．并用含、的字母表示：________；由此，你又发现了一个新的乘法公式． 深化认识 （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3．在多项式乘法的学习中，我们发现具有某些结构特征的整式的乘法运算及结果都有规律． 例如：； ； ． (1)请观察上述整式的乘法及其运算结果的规律，用含a，b的等式表示该规律并证明； (2)一个水平放置的长方体容器，其容积为，底面积为，装满水时的高度为．求的值． 4．阅读材料：小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数． 小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现： 也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18．最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为______． (2)计算所得多项式的一次项系数为______． (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则______． 5．某学习小组在研究两数的和与这两数的积相等的等式时，有下面一些有趣的发现： ①由等式发现：； ②由等式发现：； ③由等式发现：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)由等式，猜想： ，并证明你的猜想； (2)若等式中，a，b都是整数，试求a，b的值． 6．观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)根据你发现的规律，猜想_______． (2)已知均为整数，且，求的值． 7．【阅读材料】 观察下列式子： ①； ②； ③； ④； 根据上面材料回答以下问题： (1)根据阅读材料猜想：式子⑥：（ ）（ ） (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论． (3)应用你发现的规律计算： 8．观察下列等式： … 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现了一个速算法则： 十位数字相同，个位数字分别是3和7的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上3和7的乘积21． 例如，计算，因为，，所以． (1)利用以上规律直接写出结果：______； (2)设两个因数的十位数字为，用含的代数式表示上述速算法则：__________________； (3)普于思考的小聪通过计算          … 发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律． 设两个因数的十位数字为，个位数字分别为，且，请用含的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立． 9．现国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式： 例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数， (1)根据图中规律，写出的展开式； (2)根据图中规律，多项式的展开式第三项的系数是1，第三项的系数； (3)认真观察规律，猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母n的代数式表示）； (4)若的展开式第三项的系数是210，求你n的值 10．阅读下列材料，并解决有关问题． 我们知道展开后等于，我们可以利用多项式乘法法则将展开．如果进一步，要展开，，你一定发现解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢？我们不妨找找规律！ 如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 计算              结果的项数        各项系数               1             1              2           1    1           3         1    2