1.3.1 等比数列及其通项公式学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

1.3.1　等比数列及其通项公式 【学习目标】 1.能够通过实际问题理解等比数列、公比的定义,掌握等比中项的概念并会应用.(数学抽象、逻辑推理) 2.掌握等比数列的通项公式并会应用.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.阅读教材第22页案例中的4个数列,类比等差数列的研究,你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律?你发现了什么规律? 2.等比数列的定义是什么? 3.等比数列的公比q能否为零? 4.若c是a,b的等比中项,则c2=ab,反之成立吗? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)若an+1=qan,n∈N+且q≠0,则{an}是等比数列. (　　) (2)在等比数列{an}中,an=a1qn,n∈N+. (　　) (3)常数列一定是等比数列. (　　) (4)存在一个数列既是等差数列,又是等比数列. (　　) 2.已知{an}是首项为2,公比为3的等比数列,则这个数列的通项公式为(　　). A.an=2×3n+1 B.an=3×2n+1 C.an=2×3n-1 D.an=3×2n-1 3.下列数列为等比数列的是(　　). A.2,22,3×22,… B.,,,… C.S-1,(S-1)2,(S-1)3,… D.0,0,0,… 4.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=　　　　.  【合作探究】 探究1：等比数列的概念 情境设置 　　(1)《孙子算经》中载有“出门望堤”问题:“今有出门,望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各几何?” (2)《算学宝鉴》中有这样一个问题:“一文(钱)日增一倍,倍至三十日,问计几何?” (3)“诸葛统兵”问题:“诸葛统领八员将,每将又分八个营.每营里面排八阵,每阵先锋有八人.每人旗头俱八个,每个旗头八队成.每队更该八个甲,每个甲头八个兵.” 问题1:分别写出这三个问题所涉及的数组. 问题2:观察这三个问题,你能发现它们的共同特点吗? 问题3:常数列是等差数列吗?是等比数列吗? 问题4:是否存在既是等差数列又是等比数列的数列? 新知生成 　　等比数列的概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数,那么这个数列称为等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0). 新知运用 例1　判断下列数列是否是等比数列,如果是,写出它的公比. (1)1,,,,,…; (2)10,10,10,10,10,…; (3),2,3,4,…; (4)1,0,1,0,1,0,…; (5)1,-4,16,-64,256,…. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【方法总结】如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列是等比数列,否则,不是等比数列,且等比数列中任意一项不能为0(对于含参数的数列则需要分类讨论). 巩固训练 　　以下数列中,能判定是等比数列的有(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①数列1,2,6,18,…;②数列{an}中,已知=2,=2;③常数列a,a,…,a,…;④数列{an}中,=q(q≠0),其中n∈N+. 　　A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 探究2：等比数列的通项公式 情境设置 　　问题1:类比等差数列,如何推导等比数列的通项公式? 问题2:你能由等差数列中的an=am+(n-m)d类比出等比数列中相似的性质吗? 新知生成 1.首项是a1,公比是q的等比数列的通项公式为an=a1qn-1(n∈N+,a1≠0,q≠0). 2.等比数列通项公式的推广和变形:an=amqn-m. 新知运用 例2　已知在等比数列{an}中, (1)a1=1,a4=8,求an; (2)an=625,n=4,q=5,求a1; (3)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n. 【方法总结】等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个,在这4个量中,a1和q是等比数列的基本量,只要求出这2个基本量,问题便迎刃而解. 巩固训练 求下列等比数列{an}的通项公式. (1)a1=-2,a3=-8. (2)a1=5,且2an+1=-3an. (3)a5=8,a7=2,an>0. 探究3：等比中项 情境设置 　　问题:任意两个不为零的数是否一定都有等比中项?若有,是否唯一? 新知生成 在a与b中间插入数G,使a,G,b成等比数列,则称G为a与b的等比中项,且G=±(ab>0). 新知运用 例3　(1)2与8的等比中项为　　　　;  (2