1.2.1 等差数列及其通项公式学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

1.2.1　等差数列及其通项公式 【学习目标】 1.理解等差数列、等差中项的概念.(数学抽象) 2.掌握等差数列的通项公式,能利用通项公式解决等差数列的一些计算问题.(数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.等差数列是如何定义的? 2.观察所给的两个数,在两个数之间插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列? (1)2,4;(2)-1,5;(3)a,b;(4)0,0. 3.由等差数列的通项公式可以看出,要求等差数列{an}的通项公式,需要哪几个条件? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)数列4,4,4,…是等差数列. (　　) (2)若一个数列的前4项分别为1,2,3,4,则{an}(n>4)一定是等差数列. (　　) (3)在等差数列{an}中,a1,n,d,an任意给出三个,可求剩下的一个. (　　) 2.下列数列中不是等差数列的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.6,6,6,6,6 B.-2,-1,0,1,2 C.5,8,11,14 D.0,1,3,6,10 3.已知实数m是1和5的等差中项,则实数m=(　　). A. B.± C.3 D.±3 4.已知在等差数列{an}中,首项a1=4,公差d=-2,则通项公式为an=　　　　.  【合作探究】 探究1：等差数列的概念 情境设置 　　①在过去的300多年里,人们记下了哈雷彗星出现的时间:1682,1758,1834,1910,1986. ②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位,常用的确定鞋号的脚长值按从大到小的顺序可排列为:275,270,265,260,255,250,…. ③为增强体质,学校增加了体育训练的项目,下面记录了班里5名男生1分钟内引体向上的个数:10,10,10,10,10. 问题:以上数列有什么共同特征?你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗? 新知生成 　　一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数,那么这个数列称为等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,通常用字母d表示. 微点评:(1)等差数列的定义中特别强调“从第2项起”,如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项与前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列. (2)等差数列的定义中特别强调作差的顺序,即从第2项起,每一项与它的前一项作差,而不是与后一项作差,切不可将减数与被减数弄颠倒. (3)一个数列,从第2项起,每一项与它前一项的差尽管是常数,这个数列也不一定是等差数列,当常数不同时,就不是等差数列,因此定义中强调“同一个常数”. (4)公差可以是正数、负数、0.常数列都是等差数列,公差为0. 新知运用 例1　判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d. ①1,3,5,7,9,…; ②9,6,3,0,-3,…; ③1,3,4,5,6,…; ④7,7,7,7,7,…; ⑤1,,,,,…. 【方法总结】利用定义法判定等差数列的方法:从第2项起,检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数,若是同一个常数,则是等差数列,否则不是等差数列. 巩固训练 　　(多选题)下列数列中,是等差数列的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1,4,7,10 B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16 C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2 探究2：等差数列的通项公式 情境设置 　　问题:你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗? 新知生成 　　首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d. 新知运用 例2　在等差数列{an}中, (1)已知a1=2,d=3,n=10,求an; (2)已知a1=3,an=21,d=2,求n; (3)已知a1=12,a6=27,求d; (4)已知d=-,a7=8,求a1和an. 【方法总结】等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定,要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差即可. (2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个参数,那么 就可以由通项公式求出第四个参数,这一求未知量的过程,我们通常称为“知三求一”. (3)利用等差数列的通项公式不仅可以求出该数列中的任意指定项,也可以判断某个数是否为该数列中的项. 巩固训练 1.已知等差数列{an}中,a3+a8=22,a6=7,则a5=(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.15 B.22 C.7 D.29 2.已知等差数列1,-1,-3,-5,…,-89,则