8.2立体图形的直观图学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

西双版纳八壹中学2023届 数学学案 —— 年——月——日—— 课题：第八章 立体几何初步 8.2立体图形的直观图 班级—————— 姓名—————— 一．学习目标 1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤． 2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图． 二．问题与例题 问题1：请你说出下面几何体分别是什么几何体？ 规范概念： 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形，画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示．因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同．在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形． 要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形． 学生动手画出以上各个直观图的底面： 问题2：如图8.2-1，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？ 一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关，而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关．如果一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形（图8.2-2)． 问题3：为什么是这些形状？能用平行投影知识加以解释吗？ 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法． 利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是： （1）在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点．画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点，且使（或)，它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段． （3）已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半． 例题1：对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图．如图8.2-3，就是利用斜二测画法画出的水平放置的正方形的直观图．其中横向线段，；纵向线段，；．这与我们的直观观察是一致的． 例2用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图 例3．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）． （1）矩形； （2）平行四边形； （3）正三角形； （4）正五边形． 例4 已知长方体的长、宽、高分别是，，，用斜二测画法画出它的直观图． 分析：画棱柱的直观图，通常将其底面水平放置．利用斜二测画法画出底面，再画出侧棱，就可以得到棱柱的直观图．长方体是一种特殊的棱柱，为画图简便，可取经过长方体的一个顶点的三条棱所在直线作为轴、轴、轴． 画法：（1）画轴．如图8.2-6，画轴、轴、轴，三轴相交于点，使，． （2）画底面．在轴正半轴上取线段，使；在轴正半轴上取线段，使．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点为，则就是长方体的底面的直观图． 注明：画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取．用斜二测画法画图的角度也可以自定，但要求图形具有一定的立体感． （3）画侧棱．在轴正半轴上取线段，使，过，，各点分别作轴的平行线，在这些平行线上分别截取长的线段，，． （4）成图．顺次连接，，，，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图了． 例5 已知圆柱的底面半径为，侧面母线长，画出它的直观图． 解．（1）画轴．如图8. 2-7，画轴、轴，使． （2）画下底面．以为中点，在轴上取线段，使．利用椭圆模板画椭圆，使其经过，两点．这个椭圆就是圆柱的下底面． （3）画上底面．在上截取点，使，过点作平行于轴的轴．类似下底面的作法作出圆柱的上底面． （4）成图．连接，，整理得到圆柱的直观图． 对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线（图8.2-8)． 画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆．同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性（图8.2-9)． 例4某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合．画出这个组合体的直观图． 分析：画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图．本题中没有尺寸要求，画图时只需选择合适的大小，表达出该几何体的结构特征就可以了． 画法：如图8.2-10，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图． 总结： 1.水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤：口诀：横不变纵减半，平行性不变 2.空间几何体直观图斜二测画法步骤：口诀：横竖不变纵减半，平