第4章 第4讲 万有引力定律及其应用-【勤径学升】2025年高考物理一轮总复习配套课件

物 理 第四章　曲线运动与万有引力定律 第4讲　万有引力定律及其应用 返回目录 返回目录 √ × × × √ × 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 1．理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。 2．掌握计算天体质量和密度的方法。 【微点辨析】 (1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。( ) (2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。( ) (3)只有天体之间才存在万有引力。( ) (4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G eq \f(m1m2,r2) 计算物体间的万有引力。( ) (5)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。( ) (6)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。( ) 考点 eq \a\vs4\al(1) 开普勒三定律的理解和应用(互动共研) 1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。 2．由开普勒第二定律可得 eq \f(1,2) Δl1r1＝ eq \f(1,2) Δl2r2， eq \f(1,2) v1·Δt·r1＝ eq \f(1,2) v2·Δt·r2，解得 eq \f(v1,v2) ＝ eq \f(r2,r1) ，即行星在两个位置的速度之比等于到太阳的距离倒数之比，近日点速度最大，远日点速度最小。 3．开普勒第三定律 eq \f(a3,T2) ＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 [例1]　(2023·浙江卷)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”，已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表： 行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 则相邻两次“冲日”时间间隔约为(　　) A．火星365天 B．火星800天 C．天王星365天 D．天王星800天 解析　根据开普勒第三定律有 eq \f(T2,R3) ＝ eq \f(T地2,R地3) 解得T＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R地)))\s\up12(3)) T地。设相邻两次“冲日”时间间隔为t，则2π＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T地)－\f(2π,T))) t，解得t＝ eq \f(TT地,T－T地) ＝ eq \f(T地,1－\r(\f(R地3,R3))) 。由表格中的数据可得t火＝ eq \f(T地,1－\r(\f(R地3,R火3))) ≈800天，t天＝ eq \f(T地,1－\r(\f(R地3,R天3))) ≈369天，故选B。 答案　B 1．某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点。若行星运动周期为T，则该行星(　　) A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间 B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间 C．a到b的时间tab＞ eq \f(T,4) D．c至d的时间tcd＞ eq \f(T,4) 解析　据开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度最大，在远日点的速度最小，行星由a到b运动时的平均速率大于由c到d运动时的平均速率，而弧长ab等于弧长cd，故从a到b的运动时间小于从c到d的运动时间，同理可知，从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的运动时间，A、B错误；从a经b到c的时间和从c经d到a的时间均为 eq \f(T,2) ，可得tab＝tda＜ eq \f(T,4) ；tbc＝tcd＞ eq \f(T,4) ，C错误，D正确。 答案　D 2．国产科幻巨作《流浪地球》开创了中国科幻电影的新纪元，引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈讨论。其中有一种思路是不断加速地球使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系。假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R，最远距离为7R(R为加速前地球与太阳间的距离)，则在该轨道上地球公转周期将变为(　　) A．8年 B．6年 C．4年 D．2年 解析　由开普勒第三定律得： eq \f(R3,T2) ＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R＋7R,2)))\s\up12(3),T12) ，解得T1＝8年，选项A正确。 答案　A 考点 eq \a\vs4\al(2) 万有引力定律的理解(互动共研) 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。 在赤道上 G eq \f(Mm,R2) ＝mg1＋mω2R 在两极上 G eq \f(Mm,R2) ＝mg0 在一般位置 万有引力G eq \f(Mm,R2) 等于重力mg与向心力F向的矢量和 说明：越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即 eq \f(GMm,R2) ＝mg 2.不同位置处重力加速度的比较 地面 地下 天上 两极(或不计自转) 赤道 g＝ eq \f(GMr,R3) ＝ eq \f(GM,R3) (R－h) g＝ eq \f(GM,r2) ＝ eq \f(GM,（R＋h）2) g＝ eq \f(GM,R2) g＝ eq \f(GM,R2) －Rω自2 [例2]　火星的质量约为地球质量的 eq \f(1,10) ，半径约为地球半径的 eq \f(1,2) ，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　) A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5 解析　万有引力表达式为F＝G eq \f(m1m2,r2) ，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为 eq \f(F火引,F地引) ＝ eq \f(M火r地2,M地r火2) ＝0.4，选项 B 正确。 答案　B 3．某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为(　　) A． eq \f(4π2,g1T2) B． eq \f(4π2,g2T2) C． eq \f(（g2－g1）T2,4π2) D． eq \f(（g1＋g2）T2,4π2) 解析　在“极点”处mg2＝ eq \f(GMm,R2) ；在其表面“赤道”处 eq \f(GMm,R2) －mg1＝m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2) R；解得R＝ eq \f(（g2－g1）T2,4π2) ，故选C。 答案　C 4．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　) A．1－ eq \f(d,R) B．1＋ eq \f(d,R) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R))) eq \s\up12(2) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R－d))) eq \s\up12(2) 解析　如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mg＝G eq \f(Mm,R2) ，又M＝ρ· eq \f(4,3) πR3，故g＝ eq \f(4,3) πρGR；设矿井底部的重力加速度为g′，图中阴影部分所示球体的半径r＝R－d，则g′＝ eq \f(4,3) πρG(R－d)，联立解得 eq \f(g′,g) ＝1－ eq \f(d,R) ，A正确。 答案　A 考点 eq \a\vs4\al(3) 天体质量密度的计算(方法模型) 使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注 天体质量的计算 利用运行天体 r、T G eq \f(m中m,r2) ＝m eq \f(4π2,T2) r m中＝ eq \f(4π2r3,GT2) 只能得到中心天体的质量 r、v G eq \f(m中m,r2) ＝m eq \f(v2,r) m中＝ eq \f(rv2,G) v、T G eq \f(m中m,r2) ＝m eq \f(v2,r) G eq \f(m中m,r2) ＝m eq \f(4π2,T2) r m中＝ eq \f(v3T,2πG) 使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注 天体质量的计算 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ eq \f(Gm中m,R2) m中＝ eq \f(gR2,G) 使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注 天体密度的计算 利用运行天体 r、T、R G eq \f(m中m,r2) ＝m eq \f(4π2,T2) r m中＝ρ· eq \f(4,3) πR3 ρ＝ eq \f(3πr3,GT2R3) 当r＝R时 ρ＝ eq \f(3π,GT2) 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ eq \f(Gm中m,R2) m中＝ρ· eq \f(4,3) πR3 ρ＝ eq \f(3g,4πGR) 类型1　利用“重力加速度法”计算天体质量和密度 [例3]　宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响) (1)月球表面的自由落体加速度大小g月。 (2)月球的质量M。 (3)月球的密度ρ。 解析　(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝ eq \f(1,2) g月t2， 月球表面的自由落体加速度大小g月＝ eq \f(2h,t2) 。 (2)不考虑月球自转的影响，有G eq \f(Mm,R2) ＝mg月， 得月球的质量M＝ eq \f(2hR2,Gt2) 。 (3)月球的密度ρ＝ eq \f(M,V) ＝ eq \f(\f(2hR2,Gt2),\f(4π,3)R3) ＝ eq \f(3h,2πRGt2) 。 答案　(1) eq \f(2h,t2) 　(2) eq \f(2hR2,Gt2) 　(3) eq \f(3h,2πRGt2) 类型2　利用“环绕法”计算天体质量和密度 [例4]　(多选)已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2。你能计算出(　　) A．地球的质量m地＝ eq \f(gR2,G) B．太阳的质量m太＝ eq \f(4π2L23,GT22) C．月球的质量m月＝ eq \f(4π2L13,GT12) D．太阳的平均密度ρ＝ eq \f(3π,GT22) 解析　对地球表面的一个物体m0来说，应有m0g＝ eq \f(Gm地m0,R2) ，所以地球质量m地＝ eq \f(gR2,G) ，故A项正确；地球绕太阳运动，有 eq \f(Gm太m地,L22) ＝m地 eq \f(4π2L2,T22) ，则m太＝ eq \f(4π2L23,GT22) ，故B项正确；同理，月球绕地球运动，能求出地球质量。无法求出月球的质量，故C项错误；由于不知道太阳的半径，不能求出太阳的平均密度，故D项错误。 答案　AB 5．2020年12月“嫦娥五号”完成在月球表面自动取样，标志着我国探月航天工程达到了一个新高度。“嫦娥五号”绕月球做匀速圆周运动时的轨道半径为r，运行周期为T，已知万有引力常量为G，根据以上信息可以求出(　　) A．月球的平均密度 B．月球的第一宇宙速度 C．月球质量 D．月球表面的重力加速度 解析　根据G eq \f(mM,r2) ＝m eq \f(4π2,T2) r可得M＝ eq \f(4π2r3,GT2) ，选项C正确；因月球的半径未知，则不能求解月球的平均密度、月球的第一宇宙速度以及月球表面的重力加速度的大小，选项A、B、D错误。 答案　C 6．(2023·辽宁卷)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为(　　) A．k3( eq \f(T1,T2) )2 B．k3( eq \f(T2,T1) )2 C． eq \f(1,k3) ( eq \f(T1,T2) )2 D． eq \f(1,k3) ( eq \f(T2,T1) )2 解析　设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据G eq \f(Mm,r2) ＝ m eq \f(4π2,T2) r 可得G eq \f(m地m月,r12) ＝ m月 eq \f(4π2,T12) r1，G eq \f(m地m日,r22) ＝ m地 eq \f(4π2,T22) r2，其中 eq \f(r1,r2) ＝ eq \f(R月,R日) ＝ eq \f(R地,kR日) ，ρ＝ eq \f(m,\f(4,3)πR3) ，联立可得 eq \f(ρ地,ρ日) ＝ eq \f(1,k3) ( eq \f(T2,T1) )2，故选D。 答案　D “填补法”求解万有引力 运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。 [例]　万有引力定律清楚地向人们揭示，复杂运动隐藏着简洁的科学规律；它明确地向人们宣告，天上和地上的物体都遵循着完全相同的科学法则；它可以计算两个质点间的万有引力，或球体之间的万有引力。已知地球的质量为M(视为质量分布均匀的球体)，半径为R，引力常量为G。 (1)不考虑地球的自转，求地球表面附近的重力加速度大小。 (2)已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。求深度为d的矿井底部的重力加速度大小。 (3)电影《流浪地球》中的人们住在“地下城”。假设“地下城”建在半径为r的巨大空腔中，空腔与地球表面相切，如图所示。O和O′分别为地球和空腔的球心，地球表面上空某处P离地球表面的距离为H，空腔内另一处Q与球心O′的距离为L，P、Q、O′和O在同一直线上。对于质量为m的人，求： ①在P处受到地球的万有引力大小。 ②在Q处受到地球的万有引力大小。 解析　(1)不考虑地球的自转，在地球表面附近 G eq \f(Mm,R2) ＝mg，解得g＝ eq \f(GM,R2) 。 (2)设地球的平均密度为ρ，M＝ρ· eq \f(4,3) πR3， 在矿井底部G eq \f(M1m,（R－d）2) ＝mg′， 而M1＝ρ· eq \f(4,3) π(R－d)3， 深度为d的矿井底部的重力加速度： g′＝ eq \f(（R－d）GM,R3) 。 (3)①质量为m的人在P处受到地球的万有引力为FP＝ eq \f(GMm,（R＋H）2) － eq \f(GM2m,（r＋H）2) ， 其中M2＝ρ· eq \f(4πr3,3) ， 解得FP＝ eq \f(GMm,（R＋H）2) － eq \f(GMm,（r＋H）2) · eq \f(r3,R3) 。 ②质量为m的人，在Q处受到地球的万有引力为FQ＝ eq \f(GM3m,（R－r＋L）2) － eq \f(GM4m,L2) ， 其中M3＝ρ· eq \f(4π（R－r＋L）3,3) ，M4＝ρ· eq \f(4πL3,3) ， 解得FQ＝ eq \f(GMm（R－r）,R3) 。 答案　(1) eq \f(GM,R2) 　(2) eq \f(（R－d）GM,R3) (3)① eq \f(GMm,（R＋H）2) － eq \f(GMm,（r＋H）2) · eq \f(r3,R3) 　② eq \f(GMm（R－r）,R3) 1．如图所示，两个质量均为M的球分别位于半圆环和 eq \f(3,4) 圆环的圆心，半圆环和 eq \f(3,4) 圆环分别是由相同的圆环截去一半和 eq \f(1,4) 所得，环的粗细忽略不计，若图甲中环对球的万有引力为F，则图乙中环对球的万有引力大小为(　　) A． eq \f(3,2) F B． eq \f(\r(2),2) F C． eq \f(1,2) F D． eq \f(\r(3),2) F 解析　题图甲中半圆环对球的引力为F，得到 eq \f(1,4) 圆环对球的引力大小为 eq \f(\r(2),2) F，将乙环分成三个 eq \f(1,4) 圆环，关于圆心对称的两个 eq \f(1,4) 圆环对球的万有引力的合力为零，故题图乙中圆环对球的万有引力大小等于 eq \f(\r(2),2) F，故选B。 答案　B 2．如图所示，将一个半径为R、质量为M的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起。若挖去的小球的球心、球外小球球心、大球球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约为(已知引力常量为G)(　　) A．0.01 eq \f(GM2,R2) B．0.02 eq \f(GM2,R2) C．0.05 eq \f(GM2,R2) D．0.04 eq \f(GM2,R2) 解析　由题意知，所挖出小球的半径为 eq \f(R,2) ，质量为 eq \f(M,8) ，则未挖出小球前大球对球外小球的万有引力大小为F＝G eq \f(M×\f(M,8),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋\f(R,2)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(GM2,18R2) ，将所挖出的其中一个小球填在原位置，则填入左侧原位置小球对球外小球的万有引力为F1＝G eq \f(\f(M,8)×\f(M,8),（2R）2) ＝ eq \f(GM2,256R2) ，填入右侧原位置小球对球外小球的万有引力为F2＝G eq \f(\f(M,8)×\f(M,8),R2) ＝ eq \f(GM2,64R2) ， 大球中剩余部分对球外小球的万有引力大小为F3＝F－F1－F2≈0.04 eq \f(GM2,R2) ，选项D正确。 答案　D $$