3.4 课时2 复数三角形式的运算课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第3章 复数 3.4 复数的三角表示 1 课时2 复数三角形式的运算 2 1.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.（直观想象） 2.会进行复数三角形式的乘、除运算.（数学运算） 学习目标 3 1.复数三角形式的乘、除运算公式是什么？ [答案] 设， 的三角形式分别是 ， ， 则 ， . 自主预习 4 2.复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？ [答案] 复数三角形式乘、除运算的几何意义即向量的旋转与伸缩. 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）两个复数相乘,积的模等于两个复数的模的积,积的辐角等于两个复数的辐角的积. ( ) × （2）两个复数相除（除数不为0）,就是把模相除作为商的模,辐角相减作为商的辐角. ( ) √ （3）两个非零复数相乘（除）,积（商）还是一个复数.( ) √ （4）若复数,对应的向量分别为,,辐角分别为,,当时,把向量 绕点按顺时针方向旋转角,得到积 的辐角.( ) × 自主预习 6 2.若 ，则 ( ) . B A. B. C. D. [解析] 因为 ，所以 .故选B. 自主预习 7 3.计算： _________. [解析] . 自主预习 8 探究1 复数三角形式的乘法 设对应的向量为，将绕原点按逆时针方向旋转 . 问题1： 上述旋转所得向量对应的复数是什么？ [答案] 由题意所得向量对应的复数为 . 问题2： 上述问题如何求解？将 化为三角函数能求解吗？ [答案] 把 化为 ，然后根据复数代数形式的运算法则求解.能. 合作探究 9 问题3： 若复数， ，你能根据复数的 乘法运算法则计算 ，并将结果表示成三角形式吗？ [答案] . 合作探究 10 新知生成 1.设， 的三角形式分别是 ， ， 则 ， 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 合作探究 11 几何意义：两个复数，相乘，可以先分别画出与，对应的向量， ，然 后把向量绕点按逆时针方向旋转(如果，就要把绕点 按顺时针方向 旋转角，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是 . 合作探究 12 2.棣莫弗公式：，其中 . 合作探究 13 新知运用 例1 计算下列各式： （1） ； （2） ； （3） . 合作探究 14 [解析] （1）原式 . （2）原式 . 合作探究 15 （3）（法一） 复数的模，，， . 原式 . 合作探究 16 （法二） ， 原式 . 合作探究 17 &1& 复数三角形式的乘法运算：（1）直接利用复数三角形式的乘法法则： 模相乘，辐角相加；（2）若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时，需将相混的 复数统一成代数形式或三角形式，然后进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘. 合作探究 18 计算下列各式： （1） ； （2） ； （3） . 合作探究 19 [解析] （1）原式 . （2）原式 . （3）原式 . 合作探究 20 探究2 复数三角形式的除法 我们知道复数除法是乘法的逆运算，除以一个数等于乘这个数的倒数，复数三角形式的除法如何由复数三角形式的乘法运算得到呢？ 问题： 设，的三角形式分别是， ， 且，类比复数三角形式的乘法，能得出 吗？ [答案] 能， . 合作探究 21 新知生成 设，的三角形式分别是， ， 且，则 . 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的 辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 合作探究 22 几何意义：两个复数，相除，可以先画出，对应的向量， ，将向 量按顺时针方向旋转(若，则按逆时针方向旋转 ，再把模变为原来的 ，所得向量就表示商 . 复数除法的实质即向量的旋转和伸缩. 合作探究 23 新知运用 例2 计算 . [解析] 因为 ， 所以原式 . 合作探究 24 &2& （1）商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角 减去除数的辐角. （2）结果一般保留代数形式. （3）商的辐角的主值不一定等于被除数的辐角的主值减去除数的辐角的主值所得的差. 实际上，与，的关系是 . 合作探究 25 计算： ___. [解析] . 合作探究 26 1.已知复数，，则 的代数形式是 ( ) . D A. B. C. D. [解析] . 随堂检测 27 2.计算： ______. [解析] 原式 . 随