1.5.1数量积的定义及计算课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.5 向量的数量积 1 课时1 数量积的定义及计算 2 #b# 1.掌握向量数量积的定义、公式及性质.（数学抽象） #b# 2.理解向量的投影、向量的数量积的几何意义.（数学抽象、直观想象） #b# 3.理解向量数量积的含义及其物理意义，体会向量数量积与向量投影的关系.（数学抽象） #b# 4.能正确熟练地应用向量数量积的定义、运算律进行运算.（逻辑推理、数学运算） 自主预习 3 小明在雪地里，用雪橇拉着妹妹玩耍，在他的拉力 的作用下，雪橇产生了一段 位移 . 1.如何计算这个力所做的功？ [答案] . 2.力做功的大小与哪些量有关？ [答案] 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关. 自主预习 4 3.向量数量积的运算结果是什么？ [答案] 向量数量积的运算结果是实数. 4.向量在向量上的投影向量与向量 是平行向量吗？ [答案] 是. 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）向量在向量上的投影向量一定与 共线.( ) √ （2）若，则与 的夹角为钝角.( ) × （3）向量的数量积运算满足 .( ) × （4）已知，且，则 .( ) × 自主预习 6 2.设和是互相垂直的单位向量，且，，则 ( ) . B A. B. C.1 D.2 [解析] 因为， ， 所以 . 自主预习 7 3.（多选题）已知两个单位向量，的夹角为 ，则下列结论正确的是( ) . ABC A.在方向上的投影向量为 B. C. D. [解析] 因为两个单位向量，的夹角为 ， 所以，则在方向上的投影向量为 ，故A正确； ，故B正确； ， 故 ，故C正确； ，故D错误. 自主预习 8 探究1 数量积的定义 小明用纸片制作了一个边长为2的正 ，如图所示. 问题1： 图中与 的夹角是多少？ [答案] 与的夹角是的补角，而 ，故 与 的夹角为 . 合作探究 9 问题2： 仿照力做功的公式，如何计算 ？ [答案] 根据力做功的公式，得 . 问题3： 向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？ [答案] 数量积的运算结果是实数，线性运算的结果是向量. 合作探究 10 新知生成 1.数量积的定义 设，是任意两个向量，，是它们的夹角，则定义，为与 的数量积. 2.数量积定义的理解 设，，由数量积的定义得或或 ， 即 . 合作探究 11 新知运用 例1 已知正 的边长为1，求： （1）；（2）；（3） . 方法指导 找准向量的夹角，根据数量积的定义计算. 合作探究 12 [解析] （1）与的夹角为 ， . （2）与的夹角为 ， . （3）与的夹角为 ， . 合作探究 13 &1& 用定义法求平面向量的数量积，已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 .运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是 两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 合作探究 14 设正的边长为，，，，求 . [解析] ，且与,与,与的夹角均为 ， . 合作探究 15 探究2 投影 如图，一束平行光线照射在线段上，在直线 上的投影如下. 合作探究 16 问题1： 图中的线段 叫作什么？ [答案] 线段叫作线段在直线 上的投影线段. 问题2： 设直线与直线的夹角为 ，那么与， 之间有怎样的关系？ [答案] . 合作探究 17 新知生成 1.投影向量 作向量,，两个向量的夹角为 ，过点作于点 ， 则,其中与共线.我们把称为在 方向上的投影向量， 投影向量的长度 称为投影长. 合作探究 18 2.数量积的几何意义 一般地，与的数量积等于的长度____与在方向上的投影 的乘积，或 的 长度____与在 方向上的投影_________的乘积. 3.向量在方向上的投影公式为 . 合作探究 19 新知运用 例2 如图，在等腰中，， ， 为 的中点. （1）求在 方向上的投影向量； （2）求在 方向上的投影向量； （3）求在 方向上的投影长. 方法指导 根据数量积和投影向量的定义求解. 合作探究 20 [解析] （1）如图，连接 . 合作探究 21 为的中点， ， . 设与同方向的单位向量为 . 又，且与的夹角为 ， 在方向上的投影向量为 . 合作探究 22 （2）如图，延长至点，使，过点作延长线的垂线，并交 的 延长线于点 . 合作探究 23 ， ， 在方向上的投影向量即为在 上的投影向量. 又，，与的夹角为 ， 在方向上的投影向量为 ， 即在方向上的投影向量为 . （3）由（1）和已知可得, , 在方向上