3.3.2 抛物线的简单几何性质课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程 3.3 抛物线 1 3.3.2 抛物线的简单几何性质 2 1.掌握抛物线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率.（直观想象） 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题.（数学运算） 3.对通径、焦半径公式进行初步探索.（逻辑推理） 学习目标 3 预习教材，类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图形，说出抛物线 的下列性质. 1.抛物线 中， , 的范围是什么？ [答案] ， . 2.抛物线 的对称轴是什么？是否存在对称中心？ [答案] 对称轴为 轴，不存在对称中心. 自主预习 4 3.抛物线的顶点坐标有几个？顶点坐标是什么？ [答案] 只有一个顶点，顶点坐标为 . 4.抛物线的离心率是多少？ [答案] . 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）抛物线关于顶点对称.( ) × （2）抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( ) √ （3）虽然抛物线的标准方程各不相同，但是抛物线的离心率都相同.( ) √ （4）抛物线 ， 的 ， 的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离 是相同的，离心率也相同.( ) √ 6 2.若直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 轴， ，则抛物 线的焦点到直线 的距离为( ). A A.1 B.2 C.3 D.5 [解析] 已知 及 轴，不妨设点 的纵坐标为 ，代入 得点 的横坐标为2，从而直线 的方程为 .又 的焦点为 ，所以抛物线的焦点到直线 的距离为1. 7 3.（多选题）对于抛物线 ，下列描述正确的是( ). AC A.开口向上，焦点为 B.开口向上，焦点为 C.焦点到准线的距离为4 D.准线方程为 [解析] 由抛物线 ，即 ，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为 ，焦点到准线的距离为4，准线方程为 . 8 4.过抛物线 的焦点且与对称轴垂直的弦长为___. 2 [解析] 抛物线 的焦点为 ，对称轴是 轴，故经过点 且垂直于 轴的 直线 的方程为 ， 由 得 或 即直线 与抛物线的交点为 ， ，则 ，即所求弦长为2. 9 探究1 抛物线的简单几何性质 &1& . 问题1：观察图形，你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗？从“数”的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横、纵坐标的取值范围呢？ [答案] 通过观察图形，学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围，即 ， .在方程 ， 中， 并无限制，因此 .因为 ，且 ，所以 . 合作探究 10 问题2： 从“数”的角度，怎样说明抛物线 ， 关于 轴对称？ [答案] 要说明抛物线关于 轴对称，只需要在抛物线上任取一点 ，然后说明 关于 轴的对称点 也在抛物线上即可. 问题3： 从“数”的角度，如何从方程中得到抛物线的顶点？ [答案] 在抛物线的方程中， ， ，令 ，得 ，即抛物线的顶点为 . 问题4： 从“数”的角度，如何得到抛物线的离心率？ [答案] 根据抛物线离心率的定义可知 . 11 新知生成 抛物线的简单几何性质 标准方程 图象 12 标准方程 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 顶点 离心率 续表 13 新知运用 例1 已知抛物线 . （1）求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、 的取值范围； [解析] 抛物线 的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、 的取值范围分别为 ， ，直线 ， 轴， . 14 （2）以坐标原点 为顶点，作抛物线的内接等腰三角形 ，其中 ，若 焦点 是 的重心，求 的周长. &2& . [解析] 如图所示. 由 可知 轴， 设垂足为点 . 因为焦点 是 的重心， 所以 . 15 因为 ，所以 ， 所以 . 设 ，代入 得 ，所以 或 （舍去）， 所以 ， ， ， 所以 的周长为 . &3& 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.其中应用最广泛的是取值范围、对称性、顶点坐标.在解题时，应先注意开口方向、焦点位置，选准标准方程形式，然后利用条件求解.另外，要注意运用数形结合思想，根