2.3.2 课时3 空间向量数量积的坐标表示 学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

2.3 课时3 空间向量数量积的坐标表示 【学习目标】 1.理解空间向量数量积运算的坐标表示.(数学抽象) 2.了解向量垂直的条件,并会判断两个向量是否垂直.(逻辑推理、数学运算) 3.掌握空间向量的模长和夹角公式,并能运用这些公式解决简单几何体中的问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.类比平面向量数量积运算的坐标表示,思考空间向量数量积运算该如何用坐标表示? 2.若a⊥b,则向量a与b满足什么关系? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0. (　　) (2)若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则||==.(　　) 2.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是(　　). A.a+b=(10,-5,-6) B.a-b=(2,-1,-6) C.a·b=10 D.|a|=6 3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k=(　　). A.1 B. C. D. 4.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角为　　　　　.  【合作探究】 探究1 向量数量积的坐标表示 问题1:已知a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),如何求a·b? 问题2:设异面直线AB,CD所成的角为θ,则cos θ=cos<,>一定成立吗? 新知生成 数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于这两个向量相应坐标乘积的和. 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), 则a·b=(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2)=x1x2+y1y2+z1z2. (1)向量的模 |a|=. (2)向量a,b夹角的余弦值 cos<a,b>=. (3)空间向量的垂直 a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0. 新知运用 例1　已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,(2a)·(-b),(a+b)·(a-b). 已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q=(　　). A.-1　　　　B.1　　　　C.0　　　　D.-2 探究2 向量垂直的应用 例2　已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=,b=. (1)若|c|=3,c∥,求c; (2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k. 方法指导　(1)根据c∥,设c=λ,则c的坐标可用λ表示,再利用|c|=3求λ的值;(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解. 【方法总结】　　向量垂直问题主要有两种题型:(1)垂直的判断;(2)利用垂直求参数或解其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入参数,建立关于参数的方程;②最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的. 已知点A(-2,3,0),B(1,3,2),点P在直线AB上. (1)若=2,写出点P的坐标; (2)若O是坐标原点,且OP⊥AB,写出点P的坐标. 探究3 求空间向量的模长与夹角 例3　如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1D,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点. (1)求证:EF⊥B1C. (2)求cos <,>. (3)求||. 【方法总结】　　关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量或点用坐标形式设出来,然后通过建立方程(组),解方程(组)求出向量或点的坐标. 在如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,AA1=2,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1A的中点. (1)求||; (2)求cos<,>; (3)求证:A1B⊥C1M. 【随堂检测】 1.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离CM的值为(　　). A. B. C. D. 2.已知A(3,3,3),B(6,6,6),O为原点,则与的夹角是(　　). A.0 B.π C. D.2π 3.已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则 (1)a·(b+c)=　　　　;  (2)(a+2b)·(a-2b)=　　　　.  4.已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,3),设a=,b=.