1.3.1 等比数列及其通项公式 课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第1章 数列 1.3 等比数列 1 1.3.1 等比数列及其通项公式 2 1.能够通过实际问题理解等比数列、公比的定义，掌握等比中项的概念并会应用.（数学抽象、逻辑推理） 2.掌握等比数列的通项公式并会应用.（逻辑推理、数学运算） 学习目标 3 1.阅读教材第22页案例中的4个数列，类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ [答案] 通过除法运算发现：从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一常数. 自主预习 4 2.等比数列的定义是什么？ [答案] 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个不为0的常数，那么这个数列就叫作等比数列. 5 3.等比数列的公比 能否为零？ [答案] 不能.根据等比数列的定义，公比为每一项与前一项的比，即 ，若 ，则 ，所以数列中每一项都为零，所以 ，这样比值 无意义， 所以 . 6 4.若 是 ， 的等比中项，则 ，反之成立吗？ [答案] 不一定成立.在 中，若 ，则 ， 中至少有一个为0，此时三个数不成等比数列，则 不是 ， 的等比中项；若 ， ， 均为非零常数，反之也成立. 7 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若 ， 且 ，则 是等比数列.( ) × （2）在等比数列 中， ， .( ) × （3）常数列一定是等比数列.( ) × （4）存在一个数列既是等差数列，又是等比数列.( ) √ 8 2.已知 是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为( ). C A. B. C. D. [解析] 由已知可得 ， ， 则数列 的通项公式为 . 9 3.下列数列为等比数列的是( ). B A.2, , ， B. ， ， ， C. ， ， ， D.0,0,0， [解析] 结合等比数列的定义可知选项B正确. 10 4.已知 是等比数列， ， ，则公比 __. <m></m> [解析] ， ① ， ② 得 ， . 11 探究1 等比数列的概念 （1）《孙子算经》中载有“出门望堤”问题：“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？” （2）《算学宝鉴》中有这样一个问题：“一文（钱）日增一倍，倍至三十日，问计几何？” （3）“诸葛统兵”问题：“诸葛统领八员将，每将又分八个营.每营里面排八阵，每阵先锋有八人.每人旗头俱八个，每个旗头八队成.每队更该八个甲，每个甲头八个兵.” 合作探究 12 问题1： 分别写出这三个问题所涉及的数组． [答案] （1）9， ， ， ， ， ， ， . （2）2， ， ， ， . （3）8， ， ， ， ， ， ， . 13 问题2： 观察这三个问题，你能发现它们的共同特点吗？ [答案] 对于数列（1），从第2项起，每一项与前一项的比都等于9;对于数列（2），从第2项起，每一项与前一项的比都等于2;对于数列（3），从第2项起，每一项与前一项的比都等于8． 也就是说，这些数列有一个共同的特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数. 14 问题3： 常数列是等差数列吗？是等比数列吗？ [答案] 是等差数列，但不一定是等比数列，如常数列0，0，0， . 问题4： 是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？ [答案] 存在，如数列3，3，3， 既是等差数列又是等比数列. 15 新知生成 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母 表示 . 16 新知运用 例1 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比． （1）1， ， ， ， ， ； [解析] 不是等比数列； （2）10,10,10,10,10， ； [解析] 是等比数列，公比为1； 17 （3） ， ， ， ， ； [解析] 是等比数列，公比为 ； （4）1,0,1,0,1,0， ； [解析] 不是等比数列； （5）1， ,16， ,256， . [解析] 是等比数列，公比为 . 18 &1& 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0（对于含参数的数列则需要分类讨论）． 19 以下数列