第9招全等三角形的四种基本模型 练习课件 2023-2024学年鲁教版（五四制 ）数学七年级下册

第9招 全等三角形的四种基本模型 例 典 例 剖 析 如图，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF. 求证：AB＝DE. 极速提分法 【解题秘方】 在利用全等三角形说明线段或角相等时，熟悉全等三角形的基本模型是快速、准确确定两三角形全等的必备知识，如本例可按平移型确定△ABC≌△DEF. 极速提分法 极速提分法 模型 1 平移型 分 类 训 练 1 [2022·宜宾]如图，已知点A，D，C，F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF. 求证：AD＝CF. 极速提分法 极速提分法 2 如图，已知AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO. 求证： (1)△ABO≌△DCO. 模型 2 翻折型 极速提分法 (2)∠OBC＝∠OCB. 【证明】由(1)知△ABO≌△DCO， ∴OB＝OC.∴∠OBC＝∠OCB. 极速提分法 3 如图，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2. 求证：△BAD≌△CAD. 极速提分法 极速提分法 4 如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E在同一直线上，连接BD. 模型 3 旋转型 极速提分法 (1)求证：△BAD≌△CAE. 极速提分法 (2)请判断BD，CE有何数量、位置关系，并说明理由． 【解】BD＝CE，BD⊥CE. 理由如下：由(1)知△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE. ∵∠ABD＋∠DBC＋∠ACB＝90°， ∴∠ACE＋∠DBC＋∠ACB＝90°. ∴∠BDC＝90°.∴BD⊥CE. 极速提分法 【点拨】 △CAE可以看成由△BAD旋转得到，说明两三角形全等即可． 极速提分法 5 如图，点B在CD上，OB＝OD，AB＝CD，∠OBA＝∠D. (1)求证：△ABO≌△CDO. 极速提分法 (2)当AO∥CD，∠BOD＝30°时，求∠A的度数． 【解】∵△ABO≌△CDO， ∴∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C. ∴∠AOB－∠COB＝∠COD－∠COB， 即∠AOC＝∠BOD＝30°. ∵OA∥CD，∴∠C＝∠AOC＝30°. ∴∠A＝30°. 极速提分法 6 已知：点P为∠AOB的平分线上的任意一点，∠EPF与∠AOB互补，∠EPF的两边与∠AOB的两边交于E，F两点．(注：四边形内角和为360°) (1)如图①，当∠EPF绕着点P旋转时， PE和PF的数量关系是 PE＝PF， 请验证此结论． 极速提分法 极速提分法 极速提分法 (2)如图②，若∠AOB＝90°，∠EPF与∠AOB仍然互补，这时PE与PF还相等吗？并加以证明． 极速提分法 【解】PE＝PF.证明如下： 过点P作PG⊥OA于点G，PH⊥OB于点H. ∵∠PGO＝∠GOH＝∠PHO＝90°， ∴易得∠HPG＝∠EPF＝90°. ∴∠HPG－∠HPE＝∠EPF－∠HPE，即∠EPG＝∠FPH. ∵OP平分∠AOB，∴∠POG＝∠POH. 极速提分法 极速提分法 7 如图，AD⊥AB于点A，BE⊥AB于点B，点C在AB上，且CD⊥CE，CD＝CE. 求证：AB＝AD＋BE. 模型 4 一线三等角型 极速提分法 极速提分法 8 如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB，过点D作∠D＝∠ACE，边DE与CE交于点E，求证：△ABC≌△DCE. 极速提分法 极速提分法 9 如图①，AB＝7 cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，AC＝5 cm. 点P在线段AB上以2 cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t(s)(当点P运动结束时，点Q运动随之结束)． 极速提分法 (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由． 【解】△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ. 理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°. ∵当t＝1时，AP＝BQ＝2 cm，∴BP＝5 cm. ∴BP＝AC. 极速提分法 极速提分法 (2)如图②，若将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当点P，Q在运动过程中，是否存在x的值使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x，t的值． 极速提分法 极速提分法 证明：∵BE＝CF， ∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF. ∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(ASA)．∴AB＝DE. 【证明】∵AB∥DE，∴∠A＝∠EDF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC