19.2.3一次函数与一元一次方程、不等式课件2023-2024学年人教版数学八年级下册

一次函数与方程、不等式 1．认识一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系． 2．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义. 学 习 目 标 已知一次函数y=2x+1，求当函数值y =3，y =0，y = -1时，自变量x的值． 自变量x的值依次是 1， ，-1 新 课 导 入 当y=3时，2x+1等于几？当y =0，y = -1时，2x+1又等于几呢？你能把它们写成一个方程的形式吗？ 可以写成2x+1=3，2x+1=0，2x+1=-1的形式，就变成了一元一次方程． 也就是说当一个一次函数y=kx+b,只要确定了y的值，它就变成了一个一元一次方程， 每一个一元一次方程都可以看成是一次函数的一种具体情况． 新 课 导 入 思考 下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？ (1)2x＋1＝3; (2)2x＋1＝0； (3)2x＋1＝－1. 可以看出，这3个方程的等号左边都是2x＋1，等号右边分别是3, 0, －1.从函数的角度看，解这3个方程相当于在一次函数y＝ 2x＋1的函数值分别为3, 0，－1时，求自变量x的值. 合 作 探 究 或者说，在直线y＝ 2x＋1上取纵坐标分别为3，0,－1的点，看它们的横坐标分别为多少 画出一次函数y=2x+1的图象，如图: 观察图象，前面的三个方程可以看成函数y=2x+1的一种具体情况． 当y=3时，x=1；当y=0时，x= ； 当y=-1时，x= -1． 这三个方程的解则刚好是自变量x的一个值． 合 作 探 究 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解 一元一次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，求自变量x的值. 合 作 探 究 从数的角度看： 求ax +b =0的解，相当于求函数y=ax+b的值为0时，对应的自变量x. 从形的角度看： 求ax+b=0的解，这相当已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标． 新 知 小 结 特别提醒： 求一次函数的图象与x轴交点的横坐标的实质就是解一元一次方程；也就是说，“数” 题可用“形”解，“形” 题也可用“数”解 . 对于一次函数y=kx+b (k，b为常数，k≠0)，已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 合 作 探 究 已知一次函数y=3x+2，求函数值y＞2，y＜0，y＜-1时，自变量x的取值范围. 自变量x的取值范围依次是x＞0，x＜ , x ＜ -1． 合 作 探 究 当y＞2时，3x+2大于几？当y＜0，y＜-1时，3x+2又小于几呢？可以怎样列式表示？ 可以写成3x+2＞2，3x+2＜0，3x+2＜-1的形式，就变成了一元一次不等式． 合 作 探 究 思考 下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？ (1)3x＋2＞2; (2) 3x＋2＜0； (3) 3x＋2＜－1. 可以看出，这3个不等式的不等号左边都是3x＋2,而不等号及不等号右边却有不同.从函数的角度看，解这3个不等式相当于在一次函数 y＝3x＋2的函数值分别大于2、小于0、小于－1时，求自变量x的取值范围. 合 作 探 究 或者说，在直线y＝3x＋2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于－1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件.  画出一次函数的图象，如图． 从图象上观察，上面的三个不等式可以看成y=3x+2 的函数值y大于2、小于0、小于-1 时 自变量x的取值范围． 当y＞2时, x＞0；当y＜0时, x＜ ； 当y＜-1时, x＜-1． 合 作 探 究 由于任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0或 ax+b<0（a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数 y=ax+b的值大于0（或小于0）时，求自变量x相应的取值范围. 合 作 探 究 从数的角度看：求ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)的解，也就是求x为何值时y=ax+b的值大于0或小于0． 从形的角度看：求ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)的解，也就是求直线y= ax+b在x轴上方或下方部分所有点的横坐标满足的条件． 新 知 小 结 利用函数图象解方程3x－2＝x＋4. 分析：先将方程化为ax＋b＝0的形式，再在坐标系中画出函数y＝ax＋b的图象，然后观察出直线y＝ax＋b与x轴的交点坐标，从而取定所求x的值． 典 例 精 析 解：由3x－2＝x＋4得2x－6＝0画函数y＝2x－6的图象，如图. 由图可知，直线y＝2x－6与x轴的交点为(3，0)， 所以x＝3.