2.4 课时2 向量与垂直 课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.4 空间向量在立体几何中的应用 1 课时2 向量与垂直 2 1.用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面的位置关系.（逻辑推理、数学运算） 2.建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题.（逻辑 推理、直观想象） 学习目标 3 1.若直线与直线垂直，则它们的方向向量满足什么关系？ [答案] 它们的方向向量垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理是什么？如何用向量法证明？ [答案] 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线与该平面垂直，这就是直线与平面垂直的判定定理.利用平面向量的基本定理和线面垂直的定义证明. 3.如果两个平面垂直，那么它们的非零法向量满足什么条件? [答案] 它们的法向量垂直，即法向量的数量积为0. 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数 量积为0. ( ) √ （2）两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向 量垂直. ( ) × 2.若直线的方向向量为，平面 的法向量为 ，则( ) B A. B. C. D.与 斜交 [解析] ，，，即， . 自主预习 5 3.若直线的方向向量为，直线上有两点， ，则两直线 的位置关系是_______. [解析] ，， . 4.若平面 ， 的法向量分别为，，且 ，则 的值为_____. [解析] , 平面 和 的法向量的数量积为0， 即，解得 . 自主预习 6 探究1 直线与直线垂直 问题1： 证明直线与直线垂直的方法有哪些？ 证明两直线所成的角为 或证明一条直线与另一条直线所在的平面垂直或利用三垂 线定理. 问题2： 设直线的方向向量，直线的方向向量 ，如 何证明直线与 垂直？ [答案] . 合作探究 7 新知生成 1.射影 过点作平面 的垂线，则称垂足为点在平面 内的射影. 注意：如果直线垂直于平面 ，那么在 上的射影是一个点，就是与 的交点.如 果与 不垂直，那么在 上的射影就是一条直线. 2.三垂线（逆）定理 （1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直， 那么它和这条斜线也垂直. （2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么 它和这条斜线在平面内的射影也垂直. 合作探究 8 新知运用 例1 如图，在四棱锥中， 平面，四边形 是 矩形，，是的中点，点在边 上移动.求证：无论 点在边上的何处，都有 . 合作探究 9 [解析] （法一）以为原点，，，所在直线分别为轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， . 因为点在边上，设 ， 所以，，， ， 因为，所以，即 . 由的任意性可知，无论点在边上何处，总有 . 合作探究 10 （法二）因为点在边上，可设 ， 所以 ， 所以，即 . 由 的任意性可知，无论点在边上的何处，都有 . 合作探究 11 利用向量方法证明线线垂直 （1）坐标法：首先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，然后求出两直线方 向向量的坐标，再通过数量积的坐标运算得到数量积等于0，从而证明两条直线的方向 向量互相垂直. （2）基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算，结合图形，将两直线的 方向向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线的方向向量的数量积等 于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直. 合作探究 12 已知直三棱柱中，侧面为正方形， ， ，分别为，的中点，为棱上的点， .证明： . [解析] 因为三棱柱 是直三棱柱， 所以 底面，又 底面，所以 . 因为,，所以 ， 又，， 平面 ， 合作探究 13 所以 平面，所以,, 两两垂直. 以为坐标原点，分别以,,所在的直线为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 所以,,,, . 由题设 ， 因为, ， 所以 ， 所以 . 合作探究 14 探究2 直线与平面垂直 如图，这是绕直角三角形的一条直角边 所在直线旋转一周形成的图形.根 据图形回答下列问题. 问题1： 圆锥的旋转轴 与底面上的任意一条直线是否垂直？为什么？ [答案] 垂直，因为 底面，所以 垂直底面上的任意一条直线. 问题2： 如何证明直线与平面 垂直？ [答案] 分别求直线的方向向量,平面 的法向量，确定 的值， 使，由此说明，即 . 合作探究 15 新知生成 设直线的方向向量为，平面 的法向量为 ， 则 . 合作探究 16 新知运用 例2 如图所示，正三棱柱的所有棱长都为2， 为 的中点