2.3 课时3 空间向量数量积的坐标表示 课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.3 空间向量基本定理及坐标表示 1 课时3 空间向量数量积的坐标表示 2 1.理解空间向量数量积运算的坐标表示.（数学抽象） 2.了解向量垂直的条件，并会判断两个向量是否垂直.（逻辑推理、数学运算） 3.掌握空间向量的模长和夹角公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题.（逻 辑推理、数学运算） 学习目标 3 1.类比平面向量数量积运算的坐标表示，思考空间向量数量积运算该如何用坐标表示？ [答案] 两个向量的数量积等于这两个向量相应坐标乘积的和. 2.若，则向量与 满足什么关系？ [答案] . 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若，，则 . ( ) √ （2）若， ， 则 . ( ) √ 自主预习 5 2.已知向量， ，则下列结论正确的是( ) . D A. B. C. D. [解析] 由已知得，所以A错误；，所以B错误；，所以C错误； ，所以D正确. 自主预习 6 3.已知向量，，且与互相垂直，则 ( ) . D A.1 B. C. D. [解析] 由题意得，，且，解得 . 自主预习 7 4.已知，，，则向量与 的夹角为__． [解析] ， ， ，， ， ， . 又， ， ， . 自主预习 8 探究1 向量数量积的坐标表示 问题1： 已知,，如何求 ？ [答案] 取标准正交基{,,，由已知得, ， 所以 . 合作探究 9 问题2： 设异面直线，所成的角为 ，则, 一定成立吗？ [答案] 当,时，, ； 当,时，, . 合作探究 10 新知生成 数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于这两个向量相应坐标乘积的和. 设, ， 则 . （1）向量的模 . （2）向量, 夹角的余弦值 , . （3）空间向量的垂直 . 合作探究 11 新知运用 例1 已知，，求，，， ， . [解析] ； ； ； ； . 合作探究 12 已知，，，，，则 ( ) . A A. B.1 C.0 D. [解析] 因为，，所以 ，故选A. 合作探究 13 探究2 向量垂直的应用 例2 已知空间三点，，.设， . （1）若，，求 ； （2）若与互相垂直，求 . 方法指导（1）根据，设，则的坐标可用 表示，再利用求 的值；（2）把与 用坐标表示出来，再根据数量积为0求解. 合作探究 14 [解析] （1）且 ， 设 ， ， 解得，或 . （2）， ， ， . ， ， 即 ， 解得或 . 合作探究 15 向量垂直问题主要有两种题型：（1）垂直的判断；（2）利用垂直求参数 或解其他问题，即平行与垂直的应用.解题时要注意：①适当引入参数，建立关于参数 的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的. 合作探究 16 已知点，，点在直线 上. （1）若，写出点 的坐标； （2）若是坐标原点，且，写出点 的坐标. [解析] ，点在直线上，，， 点 的 坐标可表示为 . （1）由得，， 点的坐标为 或 . （2），， ， ， 点的坐标为,3, . 合作探究 17 探究3 求空间向量的模长与夹角 例3 如图，在棱长为1的正方体中，， 分别为 ，的中点，点在棱上，且，为 的中点. （1）求证： . （2）求， . （3）求 . 合作探究 18 [解析] （1）如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ， 则，0，，，，，，， ， ，， ， 所以，，， . 因为 ， 所以，即 . 合作探究 19 （2）因为，， ， 所以 . 又， ， 所以， . （3）由，， ， 得，， . 故 . 合作探究 20 关于空间向量坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. （2）由条件求向量或点的坐标 首先把向量或点用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求 出向量或点的坐标. 合作探究 21 在如图所示的直三棱柱中，， ， ，，分别是， 的中点. （1）求 ； （2）求， ； （3）求证： . 合作探究 22 [解析] （1）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系. ，， ， . （2），，， ， ， ， ，， . ， . 合作探究 23 （3），，， ， ，， . 又 ， , ， . 合作探究 24 1.设，，，则的中点到点的距离 的值为( ) . C