1.3 课时1 函数的单调性与导数 课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1 课时1 函数的单调性与导数 2 1.理解导数与函数的单调性的关系.（数学抽象、逻辑推理、直观想象） 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.（数学抽象、逻辑推理） 3.会用导数求函数的单调区间.（逻辑推理、数学运算） 学习目标 3 1.我们知道判断函数的单调性可以用定义法、图象法，对于函数 ， 如何判断它的单调性呢？ [答案] 定义法是解决问题的根本方法，但是定义法较烦琐，根据现有的知识又不能画出它的图象.通过前面的学习，我们可以通过研究函数的导数来判断它的单调性. 2.函数 的单调性与它的导数有什么关系？ [答案] 在区间上，如果，那么函数在区间 上单调递增； 如果，那么函数在区间 上单调递减. 自主预习 4 3.如何利用导数求函数 的单调区间？ [答案] 先求定义域，令，结合定义域得单调递增区间；令 ，结合定义域得单调递减区间. 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若函数在上单调递增，则一定有 . ( ) × （2）若对于，，则函数在 上单调递增. ( ) √ （3）若，，则函数在 上不单调. ( ) × （4）已知是定义在上的可导函数，若对于，，则 . ( ) √ 自主预习 6 2.下列函数中，在 上单调递增的是( ) . B A. B. C. D. [解析] ，， ， ，当时，只有 恒成立.故选B. 3.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数 的单调递增区间为________________. 和 [解析] 当或时， ， 函数的单调递增区间为和 . 自主预习 7 4.证明函数在 上单调递减. [解析] ，， ， ，在 上单调递减. 自主预习 8 探究1 函数的单调性与导数 问题1： 如图，这是某高台跳水运动员的重心相对于水 面的高度随时间变化的函数 的图象以及其速度随时间 变化的函数 的图象，试说明运动员从起跳到最高点以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 合作探究 9 [答案] 通过观察图象，可以发现： （1）运动员从起跳到最高点的这段时间，离水面的高度随时间的增加而增加，即在上单调递增，相应地， ； （2）运动员从最高点到入水的这段时间，离水面的高度随时间的增加而减小，即在上单调递减，相应地， . 合作探究 10 问题2： 观察下面一些函数的图象，探究函数的单调性和导数正负的关系. 合作探究 11 [答案] 图象（1）中，在区间上，， 是增函数. 图象（2）中，在区间上，，是减函数；在区间上，， 是增函数. 图象（3）中，在区间上，， 是增函数. 图象（4）中，在区间和上，，分别在和 上单调递减. 合作探究 12 新知生成 1.一般地，函数的单调性与其导数 有如下关系： 导数的符号 不等式的解集 函数的单调性 单调区间 单调递增 单调递增区间 单调递减 单调递减区间 2.对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明: （1）若在某区间上有有限个点使，在其余的点恒有，则 仍为增 函数（减函数的情形完全类似）； （2）为增函数的充要条件：对任意的都有且在 内的任一 非空子区间上 不恒为0. 合作探究 13 新知运用 一、判断函数的单调性 例1 利用导数判断下列函数的单调性. （1） ； （2） ； （3） . 合作探究 14 [解析] （1）因为函数 ，所以 ，所以函数在 上单 调递增. （2）因为函数， ， 所以，所以函数 在 上单调递增. （3）因为函数，，所以 ，所以函数 在 上单调递减. 合作探究 15 利用导数判断或证明函数单调性的思路：利用导数判断或证明一个函数在 给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式 在给定区间 上恒成立.一般步骤：①求导数；②判断 的符号；③给出单调性的结论. 特别提醒：如果出现个别点使 ，不影响函数在包含这些点的某个区间内 的单调性. 合作探究 16 二、求函数的单调区间 例2 求函数 的单调区间. [解析] 由题意可知， . 令，解得或 ， 所以函数的单调递增区间为和 ； 令，解得 ， 所以函数的单调递减区间为 . 合作探究 17 求函数 的单调区间的步骤 （1）确定函数 的定义域. （2）求导数 . （3）解不等式 ，函数在解集与定义域的交集上单调递增. （4）解不等式 ，函数在解集与定义域的交集上单调递减. 合作探究 18 求下列函数的单调区间. （1）， ； （2） . [解析] （1）由题意知，，令，即 ，则 . ， 解得或