9.2.4总体离散程度的估计(教学设计)-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

9.2.4总体离散程度的估计 教学设计 一、教学目标 1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度，理解离散程度参数“标准差、方差、极差”的统计含义. 2.通过对标准差、方差的学习，培养数学抽象、数据分析的核心素养. 二、教学重难点 教学重点：标准差、方差、极差的计算以及应用 教学难点：分层抽样的平均数与方差 三、教学过程 1.引入新知 平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法.但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策，下面的问题就是一个例子. 问题3 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 通过简单的排序和计算，可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7.从这个角度看，两名运动员之间没有差别. 但从图中看，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.可见，他们的射击成绩是存在差异的.那么，如何度量成绩的这种差异呢？ 一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差. 根据甲、乙运动员的10次射击成绩，可以得到 甲命中环数的极差＝10－4＝6， 乙命中环数的极差＝9－5＝4. 可以发现甲的成绩波动范围比乙的大.极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少. 【设计目的】引出方差和标准差的概念 2.方差、标准差的定义 注：你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗？ 我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远. 因此， 我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的 “平均距离”来度量成绩的波动幅度. 思考：如何定义 “平均距离”？ 假设一组数据是用表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为 “距离”，即 作为到的 “距离”.可以得到这组数据到的 “平均距离”为 想一想：为什么用 “平均距离”刻画离散程度，用 “总距离”行吗？ 为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即 （1） 我们称 （1）式为这组数据的方差. 有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成以下形式 。 由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.为了使二者单位一致，我们对方差开平方，取它的算术平方根，即 （2） 我们称 （2）式为这组数据的标准差. 如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则称 为总体方差，为总体标准差. 与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式. 如果总体的个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，其中出现的频数为，则总体方差为 如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称 为样本方差，为样本标准差. 注：标准差的取值范围是什么？标准差为数据有什么特点？ 1）刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. 2）在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差. 3）在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的.就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准差.在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性. 4）标准差、方差的取值范围是[0，＋∞)． 3.方差的实际意义 在问题3中，我们可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度，计算可得 由可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小.由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定. 如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置.如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则可以选甲. 练习1：甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解： (1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， 乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100. s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2] ＝， s＝[(99－100)2