9.2.4总体离散程度的估计(教学课件)-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

人教A版数学 必修二 9.2.4总体离散程度的估计 1 平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法.但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策，下面的问题就是一个例子. 问题3 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 引 入 2 通过简单的排序和计算，可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7. 从这个角度看，两名运动员之间没有差别. 但从图中看，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.可见，他们的射击成绩是存在差异的. 那么，如何度量成绩的这种差异呢？ 3 一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差. 根据甲、乙运动员的10次射击成绩，可以得到 甲命中环数的极差＝10－4＝6， 乙命中环数的极差＝9－5＝4. 可以发现甲的成绩波动范围比乙的大. 极差在一定程度上刻画了数据的离散程度. 但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少. 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 新知探索 注：你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗？ 4 我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远. 因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的 “平均距离”来度量成绩的波动幅度. 新知探索 思考：如何定义 “平均距离”？ 5 假设一组数据是用表示这组数据的平均数. 我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为 “距离”，即 作为到的 “距离”. 可以得到这组数据到的 “平均距离”为 想一想：为什么用 “平均距离”刻画离散程度，用 “总距离”行吗？ 思考：如何定义 “平均距离”？ 新知探索 6 为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即 （1） 我们称（1）式为这组数据的方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成以下形式 . 新知探索 由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.为了使二者单位一致，我们对方差开平方，取它的算术平方根，即 （2） 我们称 （2）式为这组数据的标准差. 7 如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则称 为总体方差，为总体标准差. 总体方差的加权形式：如果总体的个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，其中出现的频数为，则总体方差为 如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称 为样本方差，为样本标准差. 新知探索 8 1）刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. 2）在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差. 3）在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的.就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准差.在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性. 4）标准差、方差的取值范围是[0，＋∞)． 新知探索 思考：标准差的取值范围是什么？标准差为数据有什么特点？ 9 在问题3中，我们可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度，计算可得 由可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小. 由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定. 如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置.如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则可以选甲. 新知探索 10 课堂练习 11 12 例6 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62. 你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？ 解：把男生样本记为其平均数记为，方差记为； 把女生样本记为其平均数记为，方差记为； 把总样本数据的平均数记为，方差记为. 根据方差的定义，总样本方差为 新知探索 13 由可得 同理可得 .　　　　　　　　　　 由根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为 14 把已知的男生、女生样本平均数