2024年九年级中考数学中证明线段相等的方法讲义

初中数学中证明线段相等的方法 在初中数学中，有多种方法可以证明线段相等，以下是一些常见的方法： 1. 利用全等三角形：如果两个三角形全等，那么它们对应的边也相等。可以通过证明两个三角形的边和角相等来得到全等关系，从而证明线段相等。 例1．如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD的延长线于F， 求证：DE=DF． 2. 利用等腰三角形的性质：如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等，且底边的中线、高线和角平分线也相等。可以通过证明三角形是等腰三角形来证明线段相等。 例2．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F． 求证：EF=ED． 3. 利用平行四边形的性质：如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边相等。可以通过证明四边形是平行四边形来证明线段相等。 例3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO． 4. 利用等量代换：通过证明两个线段分别等于同一个第三线段，从而得到这两个线段相等。 例4．已知，如图△ABC中，AD平分∠BAC，DE＝DC，EF∥AB．求证：AC＝EF． M 5. 利用中垂线定理：如果一条直线是线段的中垂线，那么线段的两个端点到这条直线的距离相等，即线段被中垂线分成的两个部分相等。 例5．在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠B=30°，AB的垂直平分线DE交BC边于点E，AC的垂直平分线MN交BC于点N。 （1）求△AEN的周长； （2）求证：BE=EN=NC； N A E C B D M 巩固提高练习题： 1.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． 2．如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE． 3.（1）已知：如图1，△ABC中，分别以AB、AC为一边向△ABC外作正方形ABGE和ACHF，直线AN⊥BC于N，若EP⊥AN于P，FQ⊥AN于Q．判断线段EP、FQ的数量关系，并证明； （2）如图2，梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰AB、CD为一边向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF，线段AD的垂直平分线交线段AD于点M，交BC于点N，若EP⊥MN于P，FQ⊥MN于Q．（1）中结论还成立吗？请说明理由． 4.已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F． （1）求证：BF=AC； （2）求证：． 5．如图，△ABC中，AB＞AC，DF垂直平分BC交△BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DE⊥AB 于E，连接BD，CD．求证：∠DBE=∠DCA． 6．如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于E，EF∥AC交AB于F，求证：AF=FB． 7．如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD＝CE，连接DE交底BC于G．求证GD＝GE． 8．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF． （1）求证：AF=CE； （2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论． 9．如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E． （1）猜想：ME与MF的数量关系； （2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠M=∠B，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明； （3）如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB：BC=1：2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由； （4）如图4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M=∠B，AB：BC=m，其它条件不变，求出ME：MF的值．（直接写出答案） 答案： 例1．如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD的延长线于F， 求证：DE=DF． 证明：∵线段CD垂直平分AB， ∴AC=BC，AD=