6.4.3.1余弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版 （2019）必修第二册

6.4.3 余弦定理 第六章 平面向量 教学目标： 能用向量方法探索已知三角形的两边及其夹角求解三角形的问题，并能用向量的方法证明余弦定理 教学重点：用向量方法探索并证明余弦定理 教学难点：将三角形边角关系的向量式转化为数量式 环节一 创设情景 提出问题 导语 向量是解决平面几何问题中的一种重要方法。而三角形是平面几何中最基础、最重要的平面图形，那么我们可以利用向量方法探究三角形中的更多性质。 回顾：你还记得与三角形有关的哪些知识点？ ①内角和定理(三个角) ②直角三角形：勾股定理(三条边) ③直角三角形：锐角三角函数(边与角) ⑤大边对大角，小边对小角 ④面积公式 ⑦全等三角形的判定() ⑥相似三角形的判定 定量关系 定性关系 思考：已知两边及夹角相等的两个三角形全等。那么，给定三角形的两边及其夹角，这样的三角形唯一吗？ 也就是说，三角形的第三边可以用已知的两边及夹角表示. 那么，表示的公式是什么呢？ 环节二 推理论证 得出结论 定性 定量 环节二 推理论证 得出结论 问题1：在∆ABC中，三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c，怎样用 a、b和C表示边c？ b c=？ a ①把几何元素用向量表示： 设，，，那么 ②向量如何转化成数量？等式两边同时平方： ③向量式化成几何式： 同理， . 你能用文字语言统一表述一下这三个公式吗？ 环节二 推理论证 得出结论 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 ， ， . 利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边. 问题2：观察公式，你还能用余弦公式解决哪些问题呢？ (1)适用范围：任意三角形. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦” 环节二 推理论证 得出结论 知两边及其夹角求第三边 知三边求三个角 ， ， . 知两边及任意角求第三边 一般地，三角形的三个角和它们的对边，，叫做三角形的元素.已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. (3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，在等式中可以做到“知三求一” 环节三 例题练习 巩固理解 例1：在中，已知，，，解这个三角形. 解：由余弦定理得： =， 所以 由推论得：，所以， 所以 环节三 例题练习 巩固理解 1、(2)在中，已知，，，求. 2、在中，已知，，，解这个三角形. 补3、在中，若，，，解这个三角形 °，， 练习：教材P44练习1（2）、2 解：由余弦定理 ， 得，即∴或 当时，由可得 当时，同理得 环节三 例题练习 巩固理解 课本例6：在中，，，锐角满足，求(精确到). 解：因为，且为锐角， 所以. 由余弦定理，得：， 所以 进而 利用计算器，可得 环节三 例题练习 巩固理解 训练1 √ 训练2 由余弦定理得， 环节三 例题练习 巩固理解 环节三 例题练习 巩固理解 4 4 思路4：△ABC中求cosB→→ 例3、在中，已知，，，求边上的中线长. 思路1：(余A)△ABC中求cosA→(余A)△ABD中求BD 思路2：(余C)△ABC中求cosC→(余C)△BCD中求BD 思路3：→求 7 你还能如何证明余弦定理？ 法二(坐标)：以为原点建系如图， 则 ， 由两点间的距离公式得： 即 所以 以为原点建系，同理可得：， 环节三 例题练习 巩固理解 法三(几何)：当为锐角三角形时， 过点作，垂足为， 则 所以 当为钝角三角形时，过点作的垂线，垂足为， 则 环节三 例题练习 巩固理解 当90°时，，则 . 勾股定理 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. 问题2：当角为直角时，有，当角为锐角时，这三者的关系是什么？钝角呢？ 当为直角三角形时，设角C为直角 当为任意三角形，均满足余弦定理 问题1：根据上面直角三角形中的证明，请说一说勾股定理与余弦定理之间的联系？ 环节三 例题练习 巩固理解 例4（1）：在中，若，，，则是一个（ ）. 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 不确定 （2）：在锐角中，，则的取值范围为( ). A. B. C. D.不确定 C C 解析：若a为最大边，则b2＋c2＞a2，即a2＜5，∴0＜a＜， 若c为最大边，则a2＋b2＞c2，即a2＞3，∴a＞（负值舍去）， 故＜a＜.故选C.