广东省东莞市东华高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

2022~2023学年广东东莞市东城街道东华高级中学高二下学期期中数学试卷 一、选择题 1. A. B. C. D. 或 若直线 经过坐标原点和 ，则它的倾斜角是（ ） 2. A. B. C. D. 已知 ,则 3. A. 28 B. 21 C. 15 D. 10 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6 个球……设各层的球数构成一个数列 ，即 ， ， ，…，且满足 ，则第六层球的 个数 为（ ） 4. A. B. C. D. 函数 的图象大致是（ ）． 5. 在正四面体 中，棱长为 ,且 为棱 的中点，则 的值为 A. B. C. D. A C B P D 6. A. B. C. D. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记 {两次的点数均为奇数}， {两次的点数之和为8}，则 （ ） 7. A. B. C. D. 已知点 分别在双曲线 的左右两支上，且关于原点 对称, 的左焦点为 ,直线 与 的左支相交于另一点 ,若 ,且 ,则 的离心率为 8. A. B. C. D. 若函数 与 的图像存在两条公切线，则实数 的取值范围是 二、多选题 9. A. B. C. D. 以直线 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为 10. A. B. C. D. 已知由样本数据 组成的一个样本，得到回归直线方程为 ,且 ,去除两个歧义点 后，得到新的回归直线的斜率为 ,则下列说法正确的是 相关变量 具有正相关关系 去除两个歧义点后的回归直线方程为 去除两个歧义点后，样本 的残差为 去除两个歧义点后，随 值增加相关变量 值增加速度变小 和 11. 如图是瑞典数学家科赫在 年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等 份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若 原正三角形边长为 ,记第 个图中图形的边数为 ,第 个图中图形的周长为 ,则下列命题正确的是 A. B. C. D. 数列{ }的前 项和为 12. A. B. C. D. 已知正方体 的棱长为 ,点 在正方形 内运动（含边界）,则 A B CD A1 B1 C1D1 P 存在点 ,使得 若 ,则 的最小值为 若 ,则 点运动轨迹的长度为 若 ,直线 与直线 所成角的余弦值的最大值为 三、填空题 13. 二项式 展开式中常数项是 （填数字） 14. 甲、乙、丙、丁四名专家分别前往 三所中学开展科学知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，每个专家只能去一所 学校，且甲必须安排到 中学，则不同的安排方式有 种.（填数字） 15. 已知圆 和点 为坐标原点，若圆 上存在点 满足 ,则 的最大值 为 . 16. 已知 是函数 在定义域上的导函数，且 , ,若函数 在区 间 内存在零点，则实数 的最小值为 四、解答题 17. （ 1 ） 已知函数 , ,在 处的切线与直线 平行. 求实数 的值; （ 2 ）求函数 的极值. 18. （ 1 ） （ 2 ） 将等差数列{ }排成如图所示的三角形数阵:已知第三行所有数的和为 ,第 行第一个数为 求数列{ }的通项公式; 设 为数阵中第 行的第一个数，求 19. （ 1 ） （ 2 ） 如图，在三棱柱 中，侧面 为菱形, 证明: 若 , , ,求平面 与平面 夹角的余弦值. 20. （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案:设计 道题进行测试，若这 道题中，甲能正确解答其中的 道，乙能正确解答每个题目的概率均为 ，假设甲、乙两名学生解答 每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这 道测试题中分别随机抽取 题进行解答 求甲、乙共答对 道题目的概率; 设甲答对题数为随机变量 ,求 的分布列、数学期望和方差; 从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛? 21. （ 1 ） （ 2 ） 已知椭圆 ,点 为椭圆的右焦点，过点 且斜率不为 的直线 交椭圆于 两点，当 与 轴垂直时, . 求椭圆 的标准方程. , 分别为椭圆的左、右顶点，直线 , 分别与直线 ; 交于 两点，证明:四边形 为菱形, 22. （ 1 ） （ 2 ） 已知函数 , , 讨论 的极值点个数; 若 有两个极值点 , ,且 ，当 时，证明：