4.4.2平面与平面垂直的性质 学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.4 课时3 平面与平面垂直的性质 【学习目标】 1.掌握空间中面面垂直的性质定理.(逻辑推理、直观想象) 2.能够运用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.(逻辑推理、直观想象) 3.理解面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系.(逻辑推理、直观想象) 【自主预习】 1.如果α⊥β,那么α内的直线必垂直于β内的无数条直线,这句话正确吗? 2.黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直? 3.垂直于同一个平面的两个平面平行吗? 4.两个平面垂直,其中一个平面内的直线垂直于另一个平面吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若平面α⊥平面β,则平面α内所有直线都垂直于平面β. (　　) (2)若平面α⊥平面β,则平面α内一定存在直线平行于平面β. (　　) (3)若平面α不垂直于平面β,则平面α内一定不存在直线垂直于平面β. (　　) 2.已知平面α⊥平面β,直线l⊥平面α,则l与β的位置关系是(　　). A.l⊥β B.l∥β C.l⊂β D.l∥β或l⊂β 3.平面α⊥平面β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,直线m⊥α,则直线m与n的位置关系是　　　　.  【合作探究】 探究1　平面与平面垂直的性质 教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直. 问题1:在黑板上任意画的一条线与地面垂直吗? 问题2:怎样画才能保证所画直线与地面垂直? 问题3:如果两个平面垂直,那么一个平面内的直线(除交线外)与另一个平面有什么位置关系呢?如果该直线和它们的交线垂直,那么这条直线和另一个平面垂直吗? 新知生成 平面与平面垂直的性质定理 文字 语言 两个平面垂直,若　一个平面内　有一条直线垂直于这两个平面的　交线　,则这条直线与另一个平面　垂直　  符号 语言 ⇒a⊥β 图形 语言 作用 ①面面垂直⇒　线面　垂直;  ②作面的垂线 新知运用 一、面面垂直性质的应用 例1　如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD的中点,求证:BG⊥平面PAD. (2)求证:AD⊥PB. 方法指导　(1)要证明BG⊥平面PAD,只需证明BG⊥AD,然后利用面面垂直的性质得出结论;(2)要证AD⊥PB,只需证明AD⊥平面PBG即可. 【方法总结】　　证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理. 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于两个平面的交线. 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC. 求证:BC⊥AB. 二、与面面垂直有关的计算 例2　如图所示,平面α⊥平面β,在α与β的交线l上取线段AB=4 cm,AC,BD分别在平面α,平面β内,AC⊥l,BD⊥l,AC=3 cm,BD=12 cm,求线段CD的长. 方法指导　要求CD的长,由BD⊥l,α⊥β易知△BCD 为直角三角形,已知BD的长,只要知道BC的长即可.由AC⊥l知△ABC为直角三角形,从而可解. 【方法总结】　　与面面垂直有关的计算问题解决方法:所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直,然后转化为线线垂直,往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题. 如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,直线AB与平面α,β所成的角分别为45°,30°,过点A,B分别作两平面交线的垂线,垂足为A',B',且AB=12,求A'B'的长. 探究2　线线、线面、面面垂直的综合应用 例3　如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证: (1)PA⊥底面ABCD; (2)BE∥平面PAD; (3)平面BEF⊥平面PCD. 【方法总结】　　空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直,这三种关系不是孤立的,而是相互关联的.它们之间的转化关系如下: 线线垂直线面垂直面面垂直 如图,在三棱锥P-ABC中,△PBC为等边三角形,O为BC的中点,AC⊥PB,平面PBC⊥平面ABC. (1)求证:平面PAC⊥平面PBC. (2)已知E为PO的中点,F是AB上的点,AF=λAB.若EF∥平面PAC,求λ的值. 【随堂检测】 1.若α⊥β,α∩β=l,点P∈α,点P∉l,则下列说法中正确的为(　　). ①过点P且垂直于l的平面垂直于β; ②过点P且垂直于l的直线垂直于β;