4.4.2平面与平面垂直的判定学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.4 课时2 平面与平面垂直的判定 【学习目标】 1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角平面角的大小.(逻辑推理、直观想象) 2.了解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理,初步学会用定理证明垂直关系.(逻辑推理、直观想象) 3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化.(逻辑推理、直观想象) 【自主预习】 1.二面角是怎样定义的?如何表示二面角? 2.面面垂直是怎样定义的? 3.面面垂直的判定定理的内容是什么? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. (　　) (2)组成二面角的平面角的两边所在直线确定的平面与二面角的棱垂直. (　　) (3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任意一条直线,则α⊥β. (　　) (4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则该直线也垂直于另一平面. (　　) 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与平面ABCD垂直的面有(　　). A.1个 B.3个 C.4个 D.5个 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的平面角的大小是　　　　.  【合作探究】 探究1　二面角的概念 随手打开一本书,发现每两页书之间所在的平面都形成一个角度;修水坝时,为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的角度. 问题1:根据上述问题,你发现两平面形成的角有何特点? 问题2:两平面所成角θ的范围是什么? 问题3:二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关? 新知生成 1.二面角的定义:从一条直线出发的　两个半平面　所组成的图形.  2.相关概念:①这条直线叫作二面角的　棱　;②两个半平面叫作二面角的　面　.  3.二面角的画法: 4.二面角的记法:二面角　α-l-β　或　α-AB-β　或　P-l-Q　或P-AB-Q.  5.二面角的平面角:若O　∈　l,OA　⊂　α,OB　⊂　β,OA　⊥　l,OB　⊥　l,则二面角α-l-β的平面角是　∠AOB　.  特别提醒:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,二面角的大小通过其平面角的大小表示,体现了由空间图形向平面图形转化的思想;(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角,不是两条直线的夹角,因此,二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. 新知运用 例1　如图,已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2,求二面角A-CD-B的余弦值. 方法指导　先根据二面角的定义找出二面角的平面角,然后解三角形,求二面角的余弦值. 【方法总结】　　求二面角的大小关键是作出平面角,求二面角大小的步骤:(1)找出这个平面角;(2)证明这个角是二面角的平面角;(3)作出这个角所在的三角形,解这个三角形,求出角的大小. 如图,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=AD,求平面ABD与平面BCD所成二面角的大小. 探究2　平面与平面垂直的判定 建筑工地上,泥水匠砌墙时,为了保证墙面与地面垂直,泥水匠常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线,再沿着该线砌墙,如图,这样就能保证墙面与地面垂直. 问题1:由上述可知,当直线与平面垂直时,过此直线可作无数个平面,那么这些平面与已知平面有何关系? 问题2:若要判断两个平面是否垂直,根据上述问题能否得出一个方法? 新知生成 平面与平面垂直的判定定理 (1)文字语言:若一个平面过另一个平面的　垂线　,则这两个平面垂直.  (2)符号语言:a⊂α,　a⊥β　⇒α⊥β.  (3)图形语言: 特别提醒:平面与平面垂直的判定定理告诉我们,证明两个平面垂直的问题可以转化为证明直线与平面垂直的问题,进而转化为证明线线垂直的问题.通常我们将其记为“若线面垂直,则面面垂直”. 新知运用 例2　如图,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,G,F分别为PB,PC的中点,点E在MB上.求证:平面EFG⊥平面PDC. 方法指导　要证平面EFG⊥平面PDC,只需证明GF⊥平面PDC,又GF∥BC,所以只需证明BC⊥平面PDC即可. 【方法总结】　　证明面面垂直的方法 (1)定义法:证明两个半平面所成的二面角是直二面角. (2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”. (3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面. 如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.求证:平面AEC⊥平面PDB. 【随堂检测】 1.给出下列命题: ①两个相交平面组成的图形叫作二面角; ②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平