广东省2023-2024学年上学期高三数学一模试题汇编：数列

广东省2023-2024学年上学期高三数学一模试题汇编：数列 一、选择题 1．（2024·广东深圳·一模）已知数列满足，，若为数列的前项和，则（    ） A．624 B．625 C．626 D．650 2．（2024·广东广州·一模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东江门·一模）已知，则的值是（    ） A．680 B． C．1360 D． 4．（2024·广东汕头·一模）在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 5．（2024·广东佛山·一模）设数列的前项之积为，满足（），则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·广东广州·一模）已知数列的前项和，当取最小值时， . 7．（2024·广东梅州·一模） . 三、解答题 8．（2024·广东梅州·一模）设是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)数列和的项从小到大依次排列（相等项计两项）得到新数列，求的前50项的和. 9．（2024·广东深圳·一模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列． (1)求证：数列为等差数列； (2)若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）． 10．（2024·广东广州·一模）已知数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)令，记为的前项和，证明：时，. 11．（2024·广东佛山·一模）已知数列满足，，且． (1)证明为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，证明：当时，． 12．（2024·广东汕头·一模）已知数列的前n项和为，n为正整数，且． (1)求证数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若点在函数的图象上，且数列满足，求数列的前n项和． 13．（2024·广东肇庆·一模）设数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 14．（2024·广东茂名·一模）已知数列与为等差数列，，，前项和为． (1)求出与的通项公式； (2)是否存在每一项都是整数的等差数列，使得对于任意，都能满足．若存在，求出所有上述的；若不存在，请说明理由． 参考答案： 1．C 【分析】根据给定的递推公式，按奇偶分类求和即得. 【详解】数列中，，， 当时，，即数列的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2， 则， 当时，，即数列的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为， 则， 所以. 故选：C 2．C 【分析】 根据等比数列的性质可得，进而根据求和公式即可化简求解. 【详解】 根据题意，设等比数列的公比为， 若，即， 故． 故选：C． 3．B 【分析】利用赋值法，分别令和，将得到的两式相加，结合等比数列的求和，即可求得答案. 【详解】令，则，即 令，则， 即， 两式相加可得， 故选：B 4．C 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求解即得. 【详解】令插入的3个数依次为，即成等差数列， 因此，解得， 所以插入的3个数之和为. 故选：C 5．C 【分析】 由已知递推式可得数列是等差数列，从而可得，进而可得的值． 【详解】 因为， 所以，即，所以， 所以， 所以， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以， 即，所以． 故选：C． 6．3 【分析】 根据求得，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果. 【详解】因为，则当时，， 又当时，，满足，故； 则， 又在单调递减，在单调递增； 故当时，取得最小值，也即时，取得最小值. 故答案为：. 7． 【分析】考查等比数列的求和运算，首项根据已知构造出等比数列，观察发现数列乘以后的每项都为的形式，然后用等比数列的求和公式求解即可. 【详解】 故答案为： 8．(1) (2)3266 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据等差数列、等比数列的通项公式建立方程组，解之即可求解； （2）推出数列的前50项中含有数列的前6项且含有数列的前44项，结合分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 则，即，解得， 所以. （2）当数列的前50项中含有数列的前5项时， 令，得，则第26项为64， 当数列的前50项中含有数列的前6项时， 令，得，则第48项为128； 所以数列的前50项中含有数列的前6项且含有数列的前44项， 故数列的前50项和为 . 9．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意可得、，解得，结合求得，即可证明； （2）由（1）可得，根据累乘法可得，结合裂项相消求和法计算即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，即，① 因为，所以由，得．② 由①、②解得，所以，即，