2024年中考数学二轮复习专题——反比例函数新情境

中考专题——反比例函数新情境 班级： 姓名： 一．解答题 1．数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的？ 思路一：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a，面积为a2．若新正方形的周长是原正方形周长的，则新正方形的边长为a，此时新正方形的面积是①　 　． 思路二：正方形是相似图形，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，如果新正方形的面积是原正方形面积的，则新矩形与原矩形相似比为1：，此时新矩形周长应是原矩形周长的②　 　． 结论：③　 　（“存在”或“不存在”）一个新正方形，其周长和面积都为给定正方形周长和面积的． 拓展：除正方形外，上面的结论对哪种图形也成立？请写出一种图形．④　 　 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究． 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？ 分析：设新矩形长和宽分别为x，y，根据题意，得． 思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据方程的解的情况解决问题． 思路二：借助一次函数l1：y＝﹣x+3与反比例函数l2：y的图象（画出简单的函数图象即可）研究． 结论：⑤　 　（“存在”或“不存在”）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的． 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的？若存在，请指出需要满足的条件；若不存在，请说明理由． 请你完成以下任务：（1）将【阶段一】中的①～④分别补充完整．（2）分别按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二解决问题，并将⑤补充完整．（3）完成对【阶段二】中活动二的研究． 2．大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2． （1）求y关于x的函数表达式； （2） 若小孔到蜡烛的距离为4cm，求火焰的像高； （3）若火焰的像高不得超过3cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 3．小明在课余时间找了几副度数不同的近视镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小．此时他测量了镜片到光斑的距离，得到的数据如下表： 镜片度数y/度 ⋯ 400 625 800 m ⋯ 镜片到光斑的距离x/m ⋯ 0.25 0.16 0.125 0.10 ⋯ （x表示镜片到光斑的距离，y表示镜片的度数） 为了进一步研究镜片度数y与镜片到光斑的距离x间的关系，小明借助计算机绘制了表示变量间关系的图象（如图）． （1）求y与x之间的函数关系式及m的值； （2）假设小亮的近视镜是200度，用小亮的眼镜做实验的话，请写出镜片到光斑的距离，并解释你是怎样得出这一结论的； （3）根据图表中的信息，发现随着x逐渐变大，y的变化趋势是 　 　． （4）如果是一副平光镜（近视度数为0），会不会有光斑存在？（直接写结论，无需解释） 4．请阅读下面关于运用跨学科类比进行的一次研究活动的材料： 【背景】 小梧跟同学提到他家附近在规划开一个超市，有同学问道：“你家附近不是已经有一个A超市了吗？再开一个能吸引顾客吗？”这个问题引起了大家对超市的吸引力展开研究的兴趣． 【过程】 为了简化问题，同学们首先以“在楼层数相同、同样商品的品质和价格相同、售货服务的品质也大致相同的情况下，影响超市吸引力的主要因素”为主题对该市居民展开随机调查．结果显示：超市的占地面积、住处与超市的距离这两个因素的影响程度显著大于其他因素． 大家根据调查进行了总结： ①可以把“平均每周到超市购物次数p”作为超市吸引力指标； ②占地面积越大吸引力越大； ③距离越大吸引力越小． 在此次调查所收集到的居民平均每周到各超市购物次数的基础上，同学们进一步调查了相应超市的占地面积s（单位：m2）及其与居民住处的距离r（单位：m），并对p，s，r之间的关系进行研究． 一开始，同学们猜想p可能是的正比例函数，但经过检验，发现与实际数据相差较大．这时，小梧提出：